小结优质课教案

§3.2一元二次不等式及其解法

【教学目标】

知识与技能

理解三个“二次”的关系，掌握图像法解一元二次不等式；培养学生数形结合的能力。

过程与方法

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不

等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

情感态度与价值观

激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联

系的辩证思想。

【教学重点】一元二次不等式的解法。

【教学难点】理解三个二次之间的关系。

【教学过程】

（一）课题导入

甲乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40km/h以内，由于突发情况，两车相撞了，交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12m，乙车的刹车距离刚刚超过了10m，又已知这两车的刹车距s与车速x之间分别有以下函数关系:s甲=0.01x2+0.1x,s乙=0.005x2+0.05x，谁的车速超过了40km/h，谁就违章了，试问：哪一辆车违章行驶？

设计意图：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，引入新课。

（二）讲授新课

1、一元二次不等式的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

2、探究一元二次不等式0.01x2+0.1x<=12的解集

怎样求不等式0.01x2+0.1x<=12的解集呢？

探究：

2一元二次不等式不是我们熟悉的东西，但是大家看f(x)x5x和x5x0这是什么？

2我们十分熟悉的二次函数和一元二次方程，那么这三者之间又有着怎样的关系呢？

容易知道：

二次方程的有两个实数根：x10,x25，二次函数有两个零点：x10,x25。

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于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。

（2）观察图象，获得解集

画出二次函数yx25x的图象，如图，观察函数图象，

可知：

当

x < 0，或x > 5时，函数图象位于x轴上方，此时，y > 0，即x5x0；

当x0，或x5时，函数图像与x轴相交，此时，y0，即x5x0

当0 < x < 5时，函数图象位于x轴下方，此时，y < 0，即x5x0；

设计意图：从一个特殊的不等式出发，通过图像分析给出，一元二次不等式可以通过结合其所对的二次函数图像来进行求解。

（3）探究一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：axbxc> 0（a > 0）或axbxc< 0（a > 0），怎样确定一元二次不等式axbxc>0与axbxc<0的解集呢？

组织讨论：

从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：

（1）二次函数yaxbxc与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程axbxc= 0的根的情况；

（2）二次函数yaxbxc的开口方向，也就是a的符号。

总结讨论结果：

（1）二次函数

yaxbxc（a

> 0）与

x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程

axbxc= 0的判别式b4ac三种取值情况(Δ > 0，Δ = 0，Δ < 0）来确定，因此，要分三种情况讨论；

（2）a < 0可以转化为a > 0。

归纳总结：一元二次不等式axbxc0或axbxc0a0的解集：

222设相应的一元二次方程axbxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b4ac，则22222222222222不等式的解的各种情况如下表：

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判别式

b24ac

二次函数

0

0

0

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集例题讲解：

x1,x2(x1x2)

bx1x2

2a2

无实根

xxx或xx

1两根之外

bxx

2a

R

xx1xx2





两个之间

例1、

解不等式2x2-3x-2>0 变式2x2-3x-2<0 例2、-3x2+6x>2 小结：解一元二次不等式的步骤：

（1）化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、最高次的系数为正）；

（2）判Δ，求根：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根；

（3）下结论：注意结果要写成集合或者区间的形式

课堂练习：

1、解下列关于x的不等式

（1）4x2-4x+1>0

（2）-x2+2x-3>0

设计意图：检验教学效果，学生黑板演练。

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备选例题（根据学生程度和课堂时间情况进行调整）

例2、

不等式x2+bx+c>0的解集为｛x︱x>3或x<-1｝，求b与c. 练习：解不等式2≤x2-2x<8

设计意图：结合函数定义域，拓宽学生知识面，列出式子让学生黑板练习，检验教学效果。

（三）随堂练习：课本第80的练习1。

（四）课时小结

今天我们学习了一元二次不等式及其解法，同学下去可以再多看看三个二次之间的关系，

结合函数图像给出不等式的解集。同时要注意解决一元二次不等式的一些需要注意的地方；例如不等式的右边为0、最高次的系数为正等等。

同时请同学们下去思考：我们刚才提到的很多个不等式的左边实际上都可以进行因式分解，那么同学们又是否可以根据因式分解的结果来写出所对不等式的解集呢？

（五）作业：

课本80页习题3.2

A组第1、2题。

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