探究与发现 组合数的两个性质教学设计模板

1.2.1 排列（一）

整体设计

教材分析

分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类．分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事．

分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步．在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题．只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础．

分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题．这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终．搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性．

排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．

课时分配

3课时

第一课时

知识与技能

了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算．

过程与方法

经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想．

情感、态度与价值观

能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．

重点难点

教学重点：排列数的概念与计算．

教学难点：排列数的计算．

教学过程

引入新课

提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并回顾两个原理的区别与联系．

活动设计：教师提问，学生补充．

活动成果：

1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．

2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．

3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事．应用两种原理解题：①分清要完成的事情是什么；②是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制．

设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础．

提出问题2：研究下面三个问题有什么共同特点？能否对下面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？

问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？

问题二：用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？

问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？

活动设计：先独立思考，后小组交流，请同学发言、补充．

活动成果：

共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是

问题二．把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？我们把这一类问题称为排列问题，这就是我们今天要研究的内容．

提出问题3：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列问题，排列数怎么求？

活动设计：学生独立思考，举手回答．

活动成果：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，是排列问题．

解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法．根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2＝6种，如图所示．

设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．

提出问题4：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？

活动设计：学生独立思考，举手回答．

活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在4个数中任取1个，有4种方法；第二步确定十位上的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的2个数中取，有2种方法．

由分步乘法计数原理共有：4×3×2＝24种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．

显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问

题：

第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；

第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；

第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．

根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2＝24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图所示．

由此可写出所有的三位数：

123,124,132,134,142,143，

213,214,231,234,241,243，

312,314,321,324,341,342，

412,413,421,423,431,432. 设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．

提出问题5：由以上两个问题我们发现：A22＝6，A33×2＝24，你能否得出A23＝3×4＝4×n的意义和A2n的值？

活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．

活动成果：由A2n的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，…，an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A2n.由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n－1)种填法，∴A2n＝n(n－1)．

例题讲解

22例1.解方程：3A3x＝2Ax＋1＋6Ax. 思路分析：利用排列数公式求解即可．

解：由排列数公式得：3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，

∵x≥3，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0，

2解得x＝5或x＝，∵x≥3，且x∈N，∴原方程的解为x＝5. 3点评：解含排列数的方程和不等式时要注意排列数Amn中，m，n∈N且m≤n这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围．

巩固练习

x21．解不等式：Ax9>6 A9. －（2n）！mn－m2．求证：(1)An＝A·A

(2)＝1·3·5…(2n－1)．

－nnnm2n·n！1.解：原不等式即也就是9！9！>6·，

(9－x)！(11－x)！16>，化简得：x2－21x＋104>0，

(9－x)！(11－x)·(10－x)·(9－x)！解得x<8或x>13，又∵2

所以，原不等式的解集为{3,4,5,6,7}．

m2．证明：(1)AmAnn·n－m＝－n！n(n－m)！＝n！＝An，∴原式成立．

(n－m)！(2)n！2n·(2n－1)·(2n－2)…4·3·2·1＝

2·n！2n·n！n2nn·(n－1)…2·1·(2n－1)(2n－3)…3·1＝

2n·n！＝n！·1·3…(2n－3)(2n－1)＝1·3·5…(2n－1)＝右边，

n！∴原式成立．

m点评：公式Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)常用来求值，特别是m，n均为已知时；公式An＝n！常用来证明或化简．

(n－m)！变式演练

化简：(1)n－1123＋＋＋…＋；(2)1×1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n！. 2！3！4！n！11111111＋－＋－＋…＋－＝1－. 2！2！3！3！4！（n－1）！n！n！(1)解：原式＝1！－(2)提示：由(n＋1)！＝(n＋1)n！＝n×n！＋n！，得n×n！＝(n＋1)！－n！，

原式＝(n＋1)－1. 达标检测

A81231．计算：(1)A10；(2)7. A122．若Amn＝17×16×15×…×5×4，则n＝______，m＝______. 3．若n∈N*，且55＜n＜69，则(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示为______．

【答案】1.(1)720

(2)5

2.17

14

3.A1569－n

课堂小结

1．知识收获：排列概念、排列数公式．

2．方法收获：化归．

3．思维收获：分类讨论、化归思想．

补充练习

基础练习

1．若x＝n！，则x＝(

) 3！n-3n3A．A3n

B．An

C．A3

D．An－3

72．与A3A7不等的是(

) 10·8910A．A910

B．81A8

C．10A9

D．A10

33．若A5m＝2Am，则m的值为(

) A．5

B．3

C．6

D．7 62A5(m－1)！9＋3A94．计算：＝________；＝________. －19！－A6An(m－n)！10m－1·拓展练习

5．若2<(m＋1)！≤42，则m的解集是________．

－1Amm－16．(1)已知Am10＝10×9×…×5，那么m＝__________；

(2)已知9！＝362 880，那么A79＝__________；

(3)已知A2n＝56，那么n＝____________；

2(4)已知A2n＝7An－4，那么n＝____________. 【答案】1.B

2.B

3.A

4.1

1

5.{2,3,4,5,6}

6．(1)6

(2)181 440

(3)8

(4)7 教学反思：

本节课是排列组合的第一课时，本节课的主要内容就是用两个原理推导出排列数公式．本节课的特点是学生自己发现并总结定义，自主探究，自主完成排列数公式的推导．