阅读与思考 九连环教案2

九连环与递推数列

一、教学目标：

1.

掌握解九连环的方法，掌握用递推数列有关知识求解九连环的最少移动步数，从而推广到解n连环. 2.

通过递推法来求解九连环的最少移动步数，进一步渗透化归思想；通过构造法、累加法来求解n连环的最少移动步数，进一步渗透分类讨论思想. 3.

通过研究九连环的来源、结构、玩法和求解最少移动步数来增强学生对九连环的学习兴趣，锻炼学生的迁移能力和逻辑推理能力。

二、教学重、难点：

重点：

1.

解九连环的策略与方法. 2.

结合递推数列有关知识求解九连环的最少移动步数. 难点：

1.

将九连环问题转化为数列问题. 2.

解n连环的最少移动步数. 三、教具：教师自备一个九连环，多媒体辅助教学. 四、教学过程：

1.导入：通过四张解九连环的图片引出九连环的来源、历史，据说发明于战国时代.宋朝以后，九连环广泛流传。它是我国古代四大益智游戏之一（其它三项是七巧板、华容道、孔明锁）今天我们要着重研究九连环. 2.认识九连环的结构：

柄钗环柄19 8 7 6 5 4 3 2柄把环杆板环环杆

3.如何解九连环？（教师边讲解边展示,叫一个学生上来跟着操作，下面学生看。解下前五环后叫学生总结出解九连环的要点,教师协助.先用实物演示，再用多媒体辅助教学。）

解九连环的要点：

（1）第一环可以自由上（下）；

（2）要想上（下）第n环（n2），必须满足两个条件：

（I）第n-1环在环柄上

（II）前n-2个环都不在环柄上

4.如何解九连环这个问题我们已经解决了。那么大家有没有发现在解九连环的过程中上下移动圆环总共移了多少次？下面我们一起来探究一下.大家知道要解下九连环，必须先解下前七环；要解下前七环，必须先解下前五环；要解下前五环，必须先解下前三环；要解下前三

环，必须先解下第一环.它们之间存在着一种递推关系，故我们可以用刚学过的递推数列来表示，我们用通项an表示解下前n环所需的最少移动次数.要解下九连环须分为四个步骤1.解下前七环；2.解下第九环；3.套上前七环；4解下前八环.结合flash得到：a92a7a81再归纳得到一个递推公式：an2an2an11. 利用递推公式可得：

a11a22a32a1a215a52a3a4121a72a5a6185

a42a2a3110a62a4a5142a82a6a71170a92a7a813415.我们已经得到a9，那么如何利用这个递推公式an2an2an11求通项an呢？

解：(1)an2an2an11an12an3an21(1)(2):anan22(an1an3)记bnanan2则(1)(2)

anan12an2an12an3an2bn2bn1当n3时，数列bn为等比数列bnb3qn342n32n1anan22n1

(2)由(1)知当n为奇数时：a3a122a5a324a7a526anan22n1以上式子相加:ana12224262n1an202224262n112n11n1(21)2312

当n为偶数时：a4a223a6a425a8a627anan22n1以上式子相加:ana22325272n1an212325272n12(12n)1n1(22)3122

1n1(22)当n为偶数时

3综上知

n1n1(21)当n为奇数时

3五、小结：（1）解九连环的诀窍

（2）本节课的收获：知识、思想、方法等方面

六、课后作业：

（1）阅读：书本P59-60阅读与思考题

（2）课后进一步了解中国古代四大益智游戏：九连环、华容道、七巧板、孔明锁

七、板书设计：

1、九连环的玩法

2、九连环的步数

（1）第一环可以自由上（下）

（2）要想上（下）第n环（n>2），必须满足两个条件：

（I）第n-1环在环柄上

（II）前n-2个环不在环柄上

a{