1.3 二项式定理（通用）优秀获奖教案

1．3．1二项式定理

教学目标：

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

授课类型：新授课 课时安排：3课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

02122 ⑴(ab)2a22abb2C2aC2abC2b；

0312233⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

⑶(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：a，ab，ab，ab，b，

432234a的系数是C4；展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，112恰有1个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，ab的系322040数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，有4都取b的情况有C4种，b的系数是C4，

∴(ab)C4aC4abC4abC4abC4b．

二、讲解新课：

0n1n二项式定理：(ab)nCnaCnabn4233344404132223344rnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 每个都不取b的情况有1种，即Cn种，a的系数是Cn；

11恰有1个取b的情况有Cn种，ab的系数是Cn，……，

n0n0

恰有r个取b的情况有Crn种，anrbr的系数是Crn，……，

有n都取b的情况有CnnCnn种，b的系数是n，

∴(ab)nC0n1nnaCnabCrnrbrnaCnnnb(nN)，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式，

⑶它有n1项，各项的系数Crn(r0,1,n)叫二项式系数，

⑷Cranrbr叫二项展开式的通项，用TCrnrrnr1表示，即通项Tr1nab．

⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1C1nxCrrnxxn

三、讲解范例：

例1．展开(11x)4．

解一：

(11)41C1111)2C313144(x)C4(x4(x)(x)1464xx1x2x3x4．解二：(11)4(1)4(x1)4(14xxx)x4C131234xC4xC4x1

1464x1x2x3x4．

例2．展开(2x1x)6．

解：(2x1x)61x3(2x1)6

1[(2x)6C124321x36(2x)5C6(2x)C6(2x)3C6(2x)2C6(2x)1]

64x3192x2240x16060121xx2x3．

例3．求(xa)12的展开式中的倒数第4项

解：(xa)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

T91299339991C12xaC12xa220x3a．

例4．求（1）(2a3b)6，（2）(3b2a)6的展开式中的第3项．

解：（1）T221C6(2a)4(3b)22160a4b2，

2 （2）T21C6(3b)4(2a)24860b4a2．

点评：(2a3b)6，(3b2a)6的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同

例5．（1）求(x339)的展开式常数项；

x（2）求(x339)的展开式的中间两项

x39rx9r3rr2r9解：∵Tr1C()()C93x2，

3xr9∴（1）当9（2）(36r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C9332268；

2x339)的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

xx912T5C349891594251093，T6C93x2378x3

x例6．（1）求(12x)的展开式的第4项的系数；

3（2）求(x)的展开式中x的系数及二项式系数

71x93解：(12x)的展开式的第四项是T31C7(2x)3280x3，

7∴(12x)的展开式的第四项的系数是280．

（2）∵(x)的展开式的通项是Tr1C9x719x∴92r3，r3，

3r9r1()r(1)rC9rx92r，

x33∴x的系数(1)3C984，x的二项式系数C984．

3例7．求(x3x4)的展开式中x的系数

24分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开

解：（法一）(x3x4)[(x3x)4]

20134(x23x)242C4C4(x23x)4C4(x23x)34C4(x23x)43C444，

2424显然，上式中只有第四项中含x的项，

3∴展开式中含x的项的系数是C4343768

（法二）：(x23x4)4[(x1)(x4)]4(x1)4(x4)4

0413223404132234(C4xC4xC4xC4xC4)(C4xC4x4C4x42C4x43C444)

3433∴展开式中含x的项的系数是C44C44768．

例8．已知f(x)12x14x

(m,nN*)的展开式中含x项的系数为36，mn求展开式中含x项的系数最小值

2分析：展开式中含x项的系数是关于m,n的关系式，由展开式中含x项的系数为36，可得2m4n36，从而转化为关于m或n的二次函数求解

2解：12x14x展开式中含x的项为

1111Cm2xCn4x(2Cm4Cn)x

11∴(2Cm4Cn)36，即m2n18，

mn12xm14x展开式中含x2的项的系数为

n22222Cn42m22m8n28n，

tCm∵m2n18，

∴m182n，

22∴t2(182n)2(182n)8n8n16n148n612

216(n23737153*n)，∴当n时，t取最小值，但nN，

8442∴

n5时，t即x项的系数最小，最小值为272，此时n5,m8．

例9．已知(x124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，

（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：2Cn

∴Tr1Cr811121Cn()2，即n29n80，∴n8(n1舍去）

22163rrrr1rr8rC8(4)()C8x2x41rx4222xx8r1r0r8

rZ①若Tr1是常数项，则163r0，即163r0，

4∵rZ，这不可能，∴展开式中没有常数项；

②若Tr1是有理项，当且仅当163r为整数，

4∴0r8,rZ，∴

r0,4,8，

即

展开式中有三项有理项，分别是：T1x4，T5例10．求0.998的近似值，使误差小于0.001．

01解：0.9986(10.002)6C6C6(0.002)16C6(0.002)6，

63512x，T9x

82562展开式中第三项为C60.00220.00006，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，

01∴0.9986(10.002)6C6C6(0.002)10.998，

一般地当a较小时(1a)1na

n四、课堂练习：

1.求2a3b的展开式的第3项. 2.求3b2a的展开式的第3项. 3.写出(3x66123x)n的展开式的第r+1项. 五、小结

：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业：

P36 习题1.3A组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）

八、教学反思：