小结名师教学视频（文字实录）

3.4基本不等式

学习目标

通过例题的研究，进一步掌握基本不等式ab

abab (2) 2ab，并会用此定理求某些函数的最大、最小值. 2

学习过程

一、课前准备

复习1：已知m0，求证：

246m24. m9复习2：若x0，求f(x)4x的最小值

x

二、新课导学

※

学习探究

9探究1：若x0，求f(x)4x的最大值. x

探究2：求f(x)4x

9(x>5)的最小值. x5※

典型例题

例1某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m，深为3m，如果池底每1m的造价为150元，池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件. 归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案. 例2 已知x0,y0，满足x2y1，求

1 23211的最小值. xy

总结：注意“1”妙用. ※

动手试试

练1. 已知a，b，c，d都是正数，求证：

(abcd)(acbd)4abcd.

练2. 若x0，y0

，且

281，求xy的最小值. xy三、总结提升

※

学习小结

规律技巧总结:利用基本不等式求最值时，各项必须为正数，若为负数，则添负号变正.

※知识拓展

1. 基本不等式的变形：

ab2(ab)2ab2a2b2a2b2；(；ab___；ab___()；(ab)2____4ab

ab_____)____22222222. 一般地，对于n个正数a1,a2,时取等号）

,an(n2)，都有，a1a2nanna1a2an（当且仅当a1a2an3. a2b2c2abacbc(a,b,cR)当且仅当abc时取等号）

学习评价

※

自我评价

你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※

当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）计分：

1. 在下列不等式的证明过程中，正确的是（ ）. A．若a,bR，则abab22

babaB．若a,bR，则lgalgb2lgalgb

C．若xR，则x222x22

xxD．若xR，则3x3x23x3x2

2. 已知x51，则函数y4x2的最大值是（ ）. 44x5

2

A．2 B．3 C．1 D．3. 若x,yR，且xy1，则A．(2,) B．[2,)

C．(4,) D．[4,)

144. 若x,yR，则(xy)()的最小值为 . xy1

211的取值范围是（ ）. xy5. 已知x3，则f(x)x

1的最小值为 . x3

课后作业

1. 已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？ 2. 某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？

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