信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响教学实录及点评

课题：正态分布

授课者：南安市新营中学 蔡宗元

一、教材分析

正态分布是高中新教材人教A版选修2-3的第二章“随机变量及其分布”的最后一节内容，在学习了离散型随机变量之后，正态分布作为连续型随机变量，在这里既是对前面内容的一种补充，也是对前面知识的一种拓展，是必修三第三章概率知识的后续。该节内容通过研究频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线，引出拟合的函数式，进而得到正态分布的概念、分析正态曲线的特点，最后研究了它的应用。

二、教学目标

1．知识与技能

①

通过高尔顿板试验，了解正态分布密度曲线的来源

②

通过借助几何画板，理解正态分布的概念及其曲线特点，掌握利用3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题

2．过程与方法

①

通过试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线，体验从有限到无限的思想方法

②

通过观察正态曲线研究正态曲线的性质，体会数形结合的方法，增强观察、分析和归纳的能力

3、情感态度与价值观

①

通过经历直观动态的高尔顿试验，提高学习数学的兴趣

②

通过3原则的学习，充分感受数学的对称美

三、重点、难点

重点：正态分布密度曲线的特点，利用3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题

难点：正态分布密度曲线的特点

四、教法与学法

学情分析

在必修三的学习中，学生已经掌握了统计等知识，这为学生理解利用频率分布直方图来研究小球的分布规律奠定了基础。但正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象，学生理解比较困难。

根据以上学情，我采取了如下的教学方法：

1、教法

本节课是概念课教学，应该有一个让学生参与讨论、发现规律、总结特点的探索过程，所以在教学中我采取了直观教学法、探究教学法和多媒体辅助教学法。通过“观察—探究—再观察—再探究”等思维途径完成整个教学过程。而多媒体的辅助教学，不仅激发学生的学习兴趣，还有利于培养学生动向观察、抽象概括、分析归纳的逻辑思维能力，提高了课堂教学的有效性。

2、学法

纵观整堂课的设计，我注重培养学生以下学习方法：

⑴

观察探究：

观察探究有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力。（如利用高尔顿板探究正态曲线的来源）

⑵

归纳分析：

引导学生观察归纳，能缩短解决问题的时间，锻炼数学思维。（如通过几何画板的观察，归纳分析参数、对图像的影响）

⑶

理解应用

在应用中体会到数学来源于生活又服务于生活，让学生感受到数学的价值，提高学习数学的兴趣。（如例题2及作业B组题的设置）

五、教学过程

教学环节

以境激情

教学内容

通过对高尔顿板试验进行演示。

师生互动

教师创设情境，为导入新知做准备。

学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考。

学生经过观察发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的。

设计意图

教师利用多媒体进行动态演示，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣。

第2页

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研

探

论

证

1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律

⑴

将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，做出频率分布表。

⑵

以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图。连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图。

⑶

将高尔顿板下面的球槽去掉，试验次数增多，频率分布直方图无限分割，于是折线图就越来越接近于一条光滑的曲线。

引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程。

在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距。

教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？

学生经过回忆，容易得到：长方形的面积代表的是相应区间内数据的频率

教师引导学生得到：此时小球与底部接触时的横坐标X是一个连续型随机变量。

教师通过课件动态演示频率分布直方图无限分割的过程。

通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移。

通过这里的思考回忆，加深了对频率分布直方图的理解。

这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡。

通过几何画板让学生直观感受正态曲线的形成过程。

教学环

教学内容

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师生互动

设计意图

节

研

探

论

证

2．正态曲线：

曲线中任意的一个x均对应着唯一的一个y值，经过拟合，这条曲线

教师提出课题并板书：正态分布

是（或近似地是）下列函数的图像：

x2教师分析正态分布密122e,x,, 度曲线表达式的特点，

,x2并指出两个参数的实际其中是圆周率，e是自然对数的底，实数和（＞0）为参数。我们意义。

称,x的图像为正态分布密度曲

线，简称正态曲线。

与分别反映的是均值与标准差。

3．正态曲线对应的解析式中含有两个学生研探新知，并进参数和。下面结合函数解析式研行推理论证。

究曲线特点，并分析参数和对曲其中教师对学生进行线的影响：

学法指导，优化学生思维。

教师利用几何画板，先后固定参数和，⑴

固定的值，观察对图像的影响

通过变化参数和的

与旧教材不同的是，该处在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲线对应的表达式，这样处理能更直观演示正态曲线来源。

针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析，教师通过固定一个参数，讨论另值得到一系列正态曲一个参数对图像的影线，学生观察图像，分响，这样的处理大大组讨论并派代表发言。

降低了难度。

学生通过观察得到：

当一定时，曲线随着

的变化而沿x轴平

移；结合解析式分析知该环节教师利用多媒0时它是个偶函数，体引导学生归纳正态于是参数决定了正态曲线的特点，既加强0时曲线的对称轴，了学生的直观理解，0的图像可由时的也增强了学生观察归图像平移得到。（教师板纳的能力。

书：曲线是单峰的，它关于直线x对称）

同时得到：曲线在

x时达到峰值

1（教师板书）。

2

教学环

教学内容

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师生互动

设计意图

节

⑵

固定的值，观察对图像的影响

研

探

论

证

⑶

综合以上图像，你还能得到正态曲线的哪些特点？

学生通过观察并结合该环节通过几何画板参数与的意义可以呈现了教学中难以呈分析得到：当一定时，现的课程内容，很好影响了曲线的形状。地锻炼了学生观察归即：越小，偏离均值纳的能力，体现了归的程度越小，则曲线越纳分类、化难为易、瘦高；越大，偏离均数形结合的思想。

值的程度越大，则曲线越矮胖（教师板书）。

这样的处理很好地突出了重点，突破了

难点。

综合以上的图像并结

合解析式分析得到：曲线位于x轴上方，与x

轴不相交。（教师板书）。

最后引导学生由概这为接下来提出问率知识知：曲线与x轴题，引入正态分布的之间的面积为1（教师定义做铺垫。

板书）。

通过设疑，引起学生对问题的深入思考，通过复习、巩固原有知识，以确保新内容的自然引入，同时加深了对定积分几何意义的理解。

4．曲线与x轴之间的面积为1。根据引导学生回忆得到：对称性知，随机变量X落在对称轴X落在区间a,b的概x两侧的概率都是12。请思考：率的近似值其实就是在a,b上的阴影部分即对于任意一个随机变量X，如何求出曲边梯形的面积，曲边落在给定区间a,b内的概率？

梯形面积等于函数y x在区间a,b上的定积分。即：

Pa＜Xbba,xdx

abO

x

教学环

教学内容

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师生互动

设计意图

节

研

探

论

证

5．

正态分布概念：

一般地，如果对于任何实数a＜b，随机变量X满足

Pa＜Xbba,xdx，则称X的分布为正态分布，常记作如果随机变量X服从正态N,2。分布，则记作X~N,2。

教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法。

引导学生分析得到，X所落区间的端点是否能够取值，均不影响变量落在该区间内的概率。

以旧引新，虽然概念较抽象，但这样的处理过程学生不会觉得太突兀，易于接受新知识。同时培养了学生把前后知识联系起来进行思维的习惯。

6．3原则

几何画板演示3原则：

P＜X0.6826

P2＜X20.9544

引导学生分析，求定学生发现了所学知识积分，通常需要求出原无法解决的问题，从函数。根据现有知识，而引起了他们的疑无法求,x原函数。问，激发了他们要解得寻求别的方法求概决问题的欲望，变“要率。

我学”为“我要学”。

教师通过利用几何画板演示随机变量X落

在区间,, 新知识的直接给出，学生接受或多或少会2,2]与

3,3]这三有点困难。教师利用个区间内的概率，引入几何画板，从数与形3原则的内容，并指上体现了3原则的出：在3,3内容，能很好加深学区间以外取值的概率只生的印象便于理解。

有0.0026，通常认为这

种情况在一次试验中几

乎不可能发生。

所以，在实际应用中，

我们通常认为服从于正态分布的随机变量只取

这为后面3原则的3,3之间应用作了铺垫。

的值，简称3原则。我们可以利用3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题。

(教师板书3原则的内容)

P3＜X30.9974

教学环

教学内容

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师生互动

设计意图

节

反

馈

矫

正

例题1 把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b，下列说法不正确的是（

）

A．曲线b仍然是正态曲线

B．曲线a和b的最高点的纵坐标相等

C．以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2 D．以曲线b为正态分布的总体的期望比以曲线a为正态分布的总体的期望大2 学生独立分析，并学生间互问互检，质疑答辩。教师排难解惑，帮助学生巩固深化所学知识。

学生易分析知：正态曲线a经过平移仍是正态曲线，峰值不变。而曲线的左右平移与即均值（期望）有关。故C选项的说法不正确。

通过该例的设置，深化了学生对正态曲线的特点及正态分布密度函数表达式中参数与的理解。

学生相互讨论，根据例题2 某地区数学考试的成绩X服60，根对称轴可知从正态分布，其密度函数曲线如下图：

据峰值可知8，代入y 1正态曲线表达式可得：

通过一个贴近生活的实例，学生体会到了数学在实际问题中的应用，培养学生应用82x6021所学知识解决问题的,xe12882能力，激发学习热情。

由60,8知：

本例是由课本74页P52＜X68

x 练习2进行变式处

20

40

60

80100 

P＜XO

理，做到了一题多用。

0.6826

①

写出X的分布密度函数；

该环节设置的②③④P60＜X68

这三个小问，分别要②

求成绩X位于区间52,68的概1P52＜X68

求学生根据3原则2率是多少？

0.3413

直接求出对称区间概率，利用对称性及结PX＞76PX＜44③

求成绩X位于区间60,68的概合概率为1，求不对11P44X76率是多少？

称区间的概率。体现2④

若该地区有10000名学生参加考110.9544了数形结合的思想，2试，从理论上讲成绩在76分以上同时问题的设置由易0.0228

的考生有多少人？

到难，形成坡度。

例3 设正态总体落在区间,1和区间3,内的概率相等，落在区间学生分析易知：落在,1和3,内概率相等知1,由区间2,4内的概率为99.74%，求该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标。

要求学生能根据题意画出草图，分析已有条件得到两个参数的2,4概率为99.74%，解，利用解析式求出知134,132, 结果。再一次强化了即1，代入正态分布数形结合的解题思密度函数解析式知最高想。

1点的坐标为1,. 2

教学环节

教学内容

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师生互动

设计意图

1．

正态曲线有哪些具体的特点？

2．3原则是什么？它对、取任何数，数据落到相对区间内的概率是不变的吗？

应

用3．思想方法：数形结合等。

评

价

4．生活中的正态分布

教师引导学生进行课堂小结，自我评价。

学生可以展示自己的所悟所得，与同伴分享成功的喜悦；还可以提出自己的困惑，师生共同探讨。将课堂小结作为自我评价的主阵地。

教师结合例子对正态分布进行介绍。

通过学生提出学习本节内容中的困惑和与同伴分享学习成果，引导学生进行反思与自我评价。教师不仅引导学生反思学习知识，还反思思想方法。

通过教师的介绍，学生能够体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用。

学生通过作业，及时反馈，巩固所学知识；教师通过分层次布置作业，提高了学生的学习效率，同时能在作业中发现教学的不足。

A组

课本75页

A组

第1题

B组

第2题

全体思B组

在某校举行的数学竞赛中，维参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分创布N70,100，已知成绩在90分以上新

（含90分）的学生有12名。试问此次参赛的学生总数约有多少人？

课外思考：请尝试从解析式角度分析正态曲线的对称性与最值。

学生通过作业进行课外反思，通过思考发散思维，发现创新。

教师通过布置作业，进行自我评价，更新教法。

六、教学设计说明

数学知识之间存在着内在的本质联系，本设计充分注意了新旧知识间的内在联系，这样更容易使学生在学习过程中把前后所学知识联系起来进行理解记忆，更容易体会数学知识的形成过程。

该教学设计通过试验引入——旧知铺垫——生成函数——层层深入——探究新知——延伸拓展等环节展示了一个完整的数学探究过程。为使课堂生动有趣，教学效果好，该设计将信息技术与课程内容进行有机整合，用计算机呈现以往教学中难以呈现的课程内容，增大了课堂容量，使学生对重点内容的掌握更深入。

七、教学反思

现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。我们要尽最大可能实现信息技术与课程内容的有机整合，以利于学生认识数学的本质。本节课我们用计算机呈现以往教学中难以呈现的课程内容，增大了课堂容量,使学生对重点内容的掌握更深入。

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