3.1.2 复数的几何意义教学实录与评析

3.1.2 复数的几何意义 教学设计

教学要求：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学过程：

一、复习准备：

思考：实数的几何意义？

在几何上，我们用什么来表示实数？

类比实数的表示，用什么来表示复数？

二、讲授新课：

引入：回忆复数的一般形式？ Z=a+bi(a, b∈R) 一个复数由什么唯一确定？

1. 复数的几何意义（一）：

①

讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？

（分析复数的代数形式，因为它是由实部a和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标） 结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。

②复平面：以x轴为实轴，

y轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。

复数与复平面内的点一一对应。

③思考1：复数与点的对应，在复平面内描出复数25i,32i,24i,35i,5,3i分别对应的点。

（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是b而不是bi）

思考2：点与复数的对应(每个小正方格的边长为1) 例1

1．下列命题中的假命题是（ ）

(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；

(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；

(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；

(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯虚数”的（ ）。

(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件

(C)充要条件 (D)不充分不必要条件

3．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。

(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件

(C)充要条件 (D)不充分不必要条件

例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。

思考：一种重要的数学思想：数形结合思想

变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。 2. 复数的几何意义（二）：

思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？

一一对应复数Zabi复平面内的点(a,b)一一对应，一一对应复数Zabi平面向量OZ，复平面内的点(a,b)平面向量OZ

注意：人们常将复数zabi说成点Z或向量OZ，规定相等的向量表示同一复数。

例3 求下列复数的模：

(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)

思考：

(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？

(2)这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 2．应用

例2，在我们刚才例1中，分别画出各复数所对应的向量。

练***面内画出23i,42i,13i,4i,30i所对应的向量。

三、小结：

复数与复平面内的点及平面向量一一对应，复数的几何意义。四、作业与思考

四、思考与作业

•

1、如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，那么|z+i+1|的最小值是___________ •

2、在复平面上的复数z=（a2-2a+4）-（a2-2a+2）i (a∈R)求复数z对应点的轨迹方程。