3.三个正数的算术-几何平均不等式优质教案设计

人教版高中数学选修4-5不等式选讲

§1.1.3《三个正数的算术—几何平均不等式》教学设计

课题

授课教师

内容分析：

基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁，也是求最值的的一种常见方法，经常运用于实际问题，是高考高频考点。三个正数的算术—几何平均不等式是基本不等式的进一步推广，通过三个正数的算术—几何平均不等式，常常可以将一些较为复杂的求最值的问题化为简单问题，在化归方法中起着重要的承接作用。因此，本节课注重在例题中呈现类比及转化等数学思想，引导学生进行数学思想方法的探究，培养用数学思想方法解决问题的意识．

学情分析：

学生已经学习不等式的基本性质和基本不等式等相关知识，初步掌握运用所学知识解决简单的数学问题，但不等式作为高中数学的重点和难点,是学生的相对“头疼”的知识内容，尤其是基本不等式成立的前提条件“一正，二定，三相等”，学生解题时常常会顾此失彼，出现基本不等式运用的一些常见错误。拓展到三个正数或者更多正数时，务必要结合基本不等式，注重类比，对不等式成立的前提条件加以强调。

学习目标：

知识与技能：了解三个正数的均值不等式的证明方法及其推广形式，掌握它的形式特

征，会运用它证明简单的不等式及求简单的最值问题。

过程与方法：通过观察归纳、类比、猜想等方法发现、证明、理解、运用定理，并将它推广到一般情形，培养学生运用合情推理,演绎推理获取知识运用知识的能力。

情感、态度、价值观：学会类比探究数学知识，感受生活中的数学，体验成功的喜悦，形成正确的学习态度。

学习重点：三个正数的算术-几何平均不等式

学习难点：运用拆项，调配系数，凑型等方法创造条件使用三个正数的算术—几何平均不等式求最值及证明不等式．

授课类型：新授课

教 具：PPT、学案

1 三个正数的算术—几何平均不等式(第1课时)

邢志科

单位

华池一中

授课班级

高二3班

教学过程设计

教学教师活动

学生活动

环节

引导学生复习与本节课相关的学生解答学案上的复习

知识：

内容：

温

1、常用公式：

1. 常用公式：

故

33ab___________.

aba33a2b3ab2b3知

新

a3b3aba2abb2.a3b3____________.

2、重要不等式：

从2.3两个知识中等价得出ababa、bR2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数设计意图

以旧引新，揭示课题。

a2b22aba、bR，当且仅当ab时等号成立

3、基本不等式：

ab2aba、bR，4、类比，猜想三个正数的算术—几何平均不等式为：

abc3abca、b、cR

3当且仅当ab时等号成立

4、问题：类比基本不等式，猜想一下，三个正数的算术—几何平均不等式是什么？

新

知

探

究

1、猜想：

abc31. 学生自主思考，猜想结若a,b,cR,求证：abc,3论. 当且仅当abc时,等号成立.

若a,b,cR,求证：

a3b3c33abc,

当且仅当abc时,

等号成立.

2、证明：

因为a3b3c33abc(作差)

32.学生在教师引导下，经历=ab3a2b3ab2

演绎推理的论证过程. 3c3abc

3=abc33a2b3ab23abc

=abcababcc3ababc

22

借助类比的方法，引导学生进行猜想，培养学生合情推理能力.

从已有知识出发，层层推进，调动学生进行逻辑思维的内驱力，逐步导出结论，培养学生演绎推理能力.

2

222=abcabcabbcac

122=abcabbc2ac

2

所以a3b3c33abc,

当且仅当abc时,等号成立.

3、定理：

3、能用准确的数学语言表述出定理. 若a,b,cR,则a3b3c33abc,

当且仅当abc时,等号成立.

4、定理解读：

1a、b、c都为正数（一正）

4、类比基本不等式，引导学abc3abcabc33abc23生对定理进行解读，让学生若abc为定值，abc可能有最小值抓住利用定理解决问题的关键，

32=abcababcc23ab

对定理有效的解读有利于学生抓住数学的本质，提高学生运用知识的敏感性，从而提升学生的正确运用数学知识的能力.

abc3abcabcabc33

若abc为定值，abc可能有最大值

⑶当且仅当abc时，等式成

立，此时取到最大（小）值. 5、定理推广：n个正数的算术

5、类比基本不等式和三个正借助类比的—几何平均不等式：

数的算术-几何平均不等式，方法，引导学生进行类比若a1,a2,a3,,anR,则归纳出n个正数的算术—几推理和归纳a1a2a3anna1a2a3an,何平均不等式

推理，培养学n生合情推理当且仅当a1a2a3an时,能力. 等号成立.

学

以

致

用

3例１.求函数y2x2(x0)x的最小值．

（教师给出两种解答方法，由学生进行辨析）

1、学生进行解法辨析后，在通过例题帮教师的引导下给出正确解助学生掌握答，并进行解后反思：

运用三个正数的算术-几b求形如yax2(x0，a、b0)x何平均不等最小值的方法：式解决问题的方法，体会bbb1拆项：yax2=ax2

x2x2x三个正数的算术-几何平3

2运用算术—几何不等式：bbbbab2233yax3ax32x2x2x2x42均不等式的应用，规范解答的过程．

3关注等号成立的条件：当且仅当ax2=bb，即x3时，等号成立2x2a【变式训练】：求函数

2.

学生独立完成变式训练，3在教师引导下.进行解后反y2x2(x0)的最小值．

思：

x

例2.已知0x1，求函数yx1x2的最大值．

b(x0，a、b0)x2最小值的方法：求形如yax1拆项：yaxbaab=xx22x22x2运用算术—几何不等式：aabaaba2b33yxx23xx322x22x243关注等号成立的条件：ab2b当且仅当x=2，即x3时，等号成立2xa3、学生进行解法辨析后，在教师的引导下给出正确解答，并进行解后反思：

利用算术—几何平均不等式求最值应注意：（教师给出1种解答方法，由学生进行辨析）

【变式训练】：已知0x1，求函数yx21x的最大值．

2、用算术—几何平均不等式证明不等式：

1拆项、拼凑要合理；“一正、二定、三相等”缺一不可.2

4、学生独立完成变式训练.

5、学生在教师引导下进行不等式证明，并及时总结反思.

6、学生独立思考，在教师引导下进行不等式证明，并及时总结反思.

数学与生活

实际紧密联4 例3：已知a,b,cR,

111求证：abc9

abc【变式训练】：已知0a1，求证：

149．

a1a3、用算术—几何平均不等式解决实际问题：

应

用

提

升

例4

如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

（教师引导学生分析、思考问题，发现解决问题的方法）

让学生通过自我反思，归纳总结本节课的主要内容. x

a学生在教师的引导下思考、分析问题，运用三个正数的算术-几何平均不等式解决问题，并进行题后反思：

运用三个正数的算术-几何平均不等式解决实际问题

的一般方法是：

⑴建立变量之间的函数关系，转化为求函数最值问题；

⑵将函数关系式配凑成可以利用算术-几何平均不等式的形式；

⑶结合“一正二定三相等”的条件求解.

系，让学生在知识应用过程中发现数学的规律和价值，适时拓展提升.

课

堂

小

结 课

后

作

业

进一步明确本节课所学内容及体现的思想方法

本节课我们学习了三个正数的算术-几何平均不等式，重、难点是什么？体现了哪些数学思想方法？

1．

重点：不等式的三个条件

——“一正二定三相等”；

2．难点：不等式运用过程中的变形与拼凑方法；

3．数学思想：类比，整体、转化等

教材第10页 11题和12题

学生总结本节课的收获

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