阅读与思考 九连环优秀教案说课稿

等差数列、等比数列的综合应用（解答题专题复习）

班级：高二（5）

授课时间：20180523

授课人：黄决胜

最新考纲展示

1.理解等差或等比数列的概念．

2.掌握等差或等比数列的通项公式与前n项和公式．

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．

教学目标：理解等差或等比数列的概念．掌握等差或等比数列的通项公式与前n项和公式．能在具体的问题情境中识别数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．学会方程思想与化归转化思想处理等差与等比的综合问题。

教学重点：掌握等差或等比数列的通项公式与前n项和公式，能熟练运用；能在具体的问题情境中识别数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．学会方程思想与化归转化思想处理等差与等比的综合问题。

教学难点：具体的问题情境中识别数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．学会方程思想与化归转化思想处理等差与等比的综合问题。

教学手段：多媒体辅助教学

一、知识梳理：

热点一

等差数列、等比数列的运算

(1)通项公式

等差数列：an＝a1＋(n－1)d；

等比数列：an＝a1·qn1. －(2)求和公式

na1＋annn－1等差数列：Sn＝＝na1＋d；

22a11－qna1－anq等比数列：Sn＝＝(q≠1)．

1－q1－q(3)性质

若m＋n＝p＋q，

在等差数列中am＋an＝ap＋aq；

在等比数列中am·an＝ap·aq. 热点二

等差数列、等比数列的判定与证明

数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法

(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：

①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；

②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．

(2)证明{an}是等比数列的两种基本方法：

an＋1①利用定义，证明(n∈N*)为一常数；

an②利用等比中项，即证明a2n＝an－1an＋1(n≥2)．

热点三

等差数列、等比数列的综合问题

解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系,

用到转化与化归的思想方法和方程思想；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．

二、典型例题

例1.(2013·高考课标全国卷Ⅱ)

已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 解析

(1)设{an}的公差为d.由题意，得a211＝a1a13，

即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0. 又a1＝25，所以d＝－2或0(舍去)．故an＝－2n＋27. (2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．

nn从而Sn＝2(a1＋a3n－2)＝2(－6n＋56)＝－3n2＋28n. 规律方法

对于等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列各项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．

例2. (2016年高考新课标2)（17题)（本题满分12分）已知an是公差为3的等1b=1，b=，anbn1bn1nbn,. 差数列,数列bn满足123（I）求an的通项公式；（II）求bn的前n项和. 31.

【答案】（I）an3n1（II）223n1

（II）由（I）和anbn1bn1nbn

,得bn1比数列.记bn的前n项和为Sn,则

bn1,因此bn是首项为1,公比为的等3311()n331.

Snn1122313规律方法

等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 例3．（17届高三市检测17题）

已知{an}是等差数列，满足a11，a45，数列{bn}满足b11，b421，且anbn为等比数列. （1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Sn. 2.解：（1）设an的公差为d，anbn的公比为q，

da4a12，

41ana1(n1)d1(n1)(2)2n3.

a1b12，a4b416，q41a4b48q2，

a1b1anbn22n12n，

bn2nan2n2n3.

（2）Snb1b2b3bn

(211)(221)(233)(2n2n3)

(2122232n)(1132n3)

2(12n)(12n3)n

1222n1n22n2

[规律方法]

解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征，再进行求解．

练习：

(2014·高考北京卷)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．

[解]

(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得

a4－a112－3d＝3＝3＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．

设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得

b4－a420－12q3＝＝＝8，解得q＝2. b1－a14－3所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．

3－(2)由(1)知bn＝3n＋2n1(n＝1,2，…)．数列{3n}的前n项和为2n(n＋1)，

n1－2－数列{2n1}的前n项和为＝2n－1. 1－23所以，数列{bn}的前n项和为2n(n＋1)＋2n－1. (备用)例4. .(2017年高考17题)记Sn为等比数列an的前n项和，S3=-6. 已知S2=2，（1）求an的通项公式；

（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。

规律方法

证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种：

(1)利用等差数列的定义证明，即证明an＋1－an＝d(n∈N*)．

(2)利用等差中项证明，即证明an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*)．

等比数列的判定方法

证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．

小结：1.解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征，再进行求解．2.对于等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列各项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．3.等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种

行之有效的方法.

配套练习：

1.已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.(1)求{an}的通项公式；

(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

a1＋d＝2则由已知得，

a＋4d＝81∴a1＝0，d＝2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－2. (2)设等比数列{bn}的公比为q，则由已知得q＋q2＝a4. ∵a4＝6，∴q＝2或q＝－3.∵等比数列{bn}的各项均为正数，∴q＝2. b11－qn1×1－2nn∴{bn}的前n项和Tn＝＝＝2－1. 1－q1－2

2.

已知an是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为an的前n项和.（Ⅰ）求通项an及Sn；（Ⅱ）设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及其前n项和Tn. 3. 已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列。

(1)求数列{an}的通项公式；

4n(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn。

anan＋12×14×3解析：(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋2×2＝4a1＋12，

由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1。

解析：(2)bn＝(－1)n－1114n4nn－1n－1＋。

＝(－1)＝(－1)anan＋12n－12n＋12n－12n＋1当n为偶数时，

11111112n1＋＋Tn＝1＋3－3＋5＋…＋2n－32n－1－2n－12n＋1＝1－＝。

2n＋12n＋1当n为奇数时，

1112n＋211111Tn＝1＋3－3＋5＋…－2n－3＋2n－1＋2n－1＋2n＋1＝1＋＝。

2n＋12n＋14. (2014年高考大纲全国卷)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，

an＋2＝2an＋1－an＋2. (1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；

(2)求{an}的通项公式．

解析：(1)证明：由an＋2＝2an＋1－an＋2得，

an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1. 所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．

(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)，即an＋1－an＝2n－1. nn于是∑

(ak＋1－ak)＝∑

(2k－1)，

k＝1k＝1所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1. 练习：(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知数列{an

}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．

(1)证明：an＋2－an＝λ；

(2)是否存在λ，使得{an }为等差数列？并说明理由．

[解]

(1)证明:由题设知anan＋1＝λSn－1,an＋1an＋2＝λSn＋1－1，

两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，

由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.

(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.

由(1)知，a3＝λ＋1.

令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.

故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；

{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.

所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，

因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．