阅读与思考 九连环优秀教学设计

平江七中集体备课电子教案

高二年级 数学备课组

课 题

教

学

目

标

教学重点

教学难点

教学方法

等比数列的概念．

1．知识与技能

形成并掌握等比数列的概念，理解等比数列的通项公式．

2．过程与方法

培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法．

3．情感、态度与价值观

让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣．

等比数列

第 1 课时

等比数列通项公式的推导过程及应用．

启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法

二次备课

教学过程：步骤、内容、教学活动

【问题导思】

观察下面几个数列：

①1,2,4,8,16，…

1111②1，，，，，…

24816③1，－1,1，－1,1，…

1④，－1,2，－4,8，…

21．上面几组数列是等差数列吗？为什么？

等比数列的定义

【提示】

都不是等差数列，因为不符合等差数列的定义．

2．如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？

【提示】

从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数．

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．

【问题导思】

等比中项

如果在a，b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G与a，b之间有怎样的数量关系？

【提示】

G＝ab. 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式G＝a·b. 22

【问题导思】

等比数列的通项公式

1．你能用一个数学式子表示出等比数列的定义吗？

【提示】

an＋1an＝q或＝q(n≥2)或an＋1＝qan或an＝qan－1(n≥2)．

anan－12．根据问题1中的式子，你能归纳出等比数列的通项公式吗？

【提示】

由a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q，a4＝a3q＝a1q…，可猜测an＝a1q等比数列的递推公式与通项公式

已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则

(1)递推公式：23n－1. an＝q(n≥2)；

an－1n－1(2)通项公式：an＝a1q.

在等比数列{an}中，

1(1)若a2＝4，a5＝－，求an；

2等比数列的通项公式及运算

(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 1【思路探究】

(1)由a2＝4，a5＝－能否建立a1，q的方程组求出a1，q？能否写出通项公2式an?

(2)由已知条件能否求a1，q？怎样求？怎样求n?

1．a1和q是等比数列的两个基本量，解决本题时，只要求出这两个基本量，其余的量便可以得出．

2．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程(组)来解决．

在等比数列{an}中，

(1)已知a3＝9，a6＝243，求a9；

912(2)已知a1＝，an＝，q＝，求n. 8338

在各项为负数的数列{an}中，已知：2an＝3an＋1，且a2·a5＝. 27(1)求证：{an}是等比数列，并求出通项；

16(2)试问：－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，说明理由．

81【思路探究】

(1)要判断{an}为等比数列，an＋1与an需要满足怎样的关系？怎样求一个等比数列的通项公式？(2)如何判断一个数是否为一个数列中的项？

判断一个数列是等比数列的常用方法

1．定义法：an＋1an*＝q(常数)(n∈N)或＝q(常数)(n≥2)⇔{an}为等比数列．

anan－12*2．等比中项法：an＋1＝an·an＋2且an≠0，n∈N⇔{an}为等比数列．

3．通项法：an＝a1q

已知b是a与c的等比中项．求证：a＋b，ab＋bc，b＋c成等比数列．

某工厂2013年1月的生产总值为a万元，计划从2013年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2014年8月底该厂的生产总值为多少万元？

【思路探究】

(1)该问题可以转化为等比数列模型吗？(2)a1，q分别是多少？要求哪一个量？

利用数列解决实际问题的关键是建立恰当的数学模型，本例的数学模型是每月的生产总值组成一个等比数列，2014年8月底的生产总值是该数列中的第n项，常常容易被搞错．

2222n－1(其中a1、q为非零常数，n∈N)⇔{an}为等比数列．

*

在利用电子邮件传播病毒的例子中，如果第一轮感染的计算机数是80台，并且从第一轮起，以后各轮的每一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机，到第5轮可以感染多少万台计算机？

忽略等比中项的符号致误

在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x－18x＋7＝0的两个根，试求a7. 【错解】

因为a5，a9是方程7x－18x＋7＝0的两个根，

18a5＋a9＝7，所以a5·a9＝1.22

又因为a7是a5，a9的等比中项， 所以a7＝a5·a9＝1，即a7＝±1.

【错因分析】

上述解法忽略了对a7符号的讨论，由于a5，a9均为正数，所以不论q取正还是取负，a7始终与a5，a9同号．

【防范措施】

解等比数列的问题时，一定要特别注意符号，等比数列中项可以同正、同负，还可以正负交错，但是所有奇数项(或偶数项)的符号是相同的．

【正解】

∵a5，a9是方程7x－18x＋7＝0的两根，

18a5＋a9＝，7∴a5·a9＝1，22

∴a5>0，a9>0故a7>0. 又∵a7是a5，a9的等比中项，∴a7＝a5·a9＝1，∴a7＝1

小结

1．要注意利用等比数列的定义解题，在很多时候紧扣定义是解决问题的关键．

2．注意基本量法：在用等比数列通项公式时，以首项a1，公比q为基本量，其他量用这两个量表示出来，再寻求条件与结论的联系，往往使很多问题更容易解决．

3．等比中项在题目中会经常出现，因此要掌握好.

板

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