信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响课时教案

选修2-3第二章

《随机变量及其分布》

2.4正态分布

学校:蒙自第一高级中学

姓名：赵海碧

课题：2.4正态分布

教学目标：

知识与技能目标：理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质，并能简单应用。

过程与方法目标：能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律，引导学生通过观察并探究律，提高分析问题，解决问题的能力；培养学生数形

结合，函数与方程等数学思想方法。

情感态度与价值观目标：通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的学习态度、健康向上的人生态度，具有科学精神和正确的世界观、人生观、价值观，形成有责任感和使命感的社会公民。

教学重点：

本节课是概念课教学，应该有一个让学生参与讨论、发现规律、总结特点并给出定义、归纳方法的探索认识过程，其重点为正态分布的概念、正态曲线的性质和标准正态分布的一些简单计算。

教学难点：

正态分布的概念难于理解，但在现实生活中有会经常遇见的一种分布，学生不熟悉其本身性质，概念中又涉及一些微积分知识，致使教师的教与学生的学都相对比较困难。

教学方法：

本节课主要采用“启发式教学”与“合作学习教学”的模式组织教学，凸现学生的主体地位，让教师成为学生数学活动的组织者、引导者、合作者，让学生通过函数观点主动建构出正态分布、

正态曲线和标准正态分布、标准正态曲线。其中主要的教学方法是讲授法，实验观察法。

设计思想：

（1）有序的教学，在基于课本讲解的基础上做适当的拓展，让学生有发展的空间，提高学生对知识追求的渴望欲。

（2）遵循教学的基本规律，根据学生特点，达到教学目标的要求。

（3）有目的有计划的教学，恰当解决教学过程中遇到的问题。

（4）完成教学要求同时，提升学生对真理的认同感，对科学对事物有自己的理

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解看法，最终对学生的情感价值观产生积极影响。

教学过程：（借助多媒体设备）

（一）复习引入

总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线。

（二）导入新课

1. 利用多媒体设备掩饰高尔顿板试验

（1）教师创设情境，为导入新知做准备。

（2）学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考。

（3）学生经过观察发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的。

（4）师生互动发现小球掉落发布情况为中间多两边少。

2. 用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律

（1）观察频率分布直方图。

（2）学生依然发现频率的分布依然是中间多两边少。

3. 引入正态分布曲线

学生看出其图像型如“钟”。

引出正态分布的函数

1(x)2,(x)222e,x(,)

（3）简单介绍正态曲线

曲线中任意的一个x均对应着唯一的一个y值，经过拟合，这条曲线是（或近似地是）下列函数的图像：

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1

,(x)e2(x)222,x(,)（即正态分布函数）

其中是圆周率，e是自然对数的底，实数和(0)为参数。我们称,x的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

与分别反映的是均值与标准差。

（三）讲授新知

1.正态分布的定义

一般地，如果对于任何实数ab，随机变量X满足

P(aXB),(x)dx, ab则称

X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(,2)．如果随机变量

X 服从正态分布，则记为X～N(,2).

经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标

X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．

说明:（1）参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．

（2）早在

1733 年，法国数学家棣莫弗就用n！的近似公式得到了正态分布．之

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后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．

2．正态分布N(,2)是由均值和标准差唯一决定的分布。通过对正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称。通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响.讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质. 3．正态曲线的性质：

（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交

（非负性）

（2）曲线是单峰的，它关于直线x对称

（对称性）

（3）曲线在x处达到峰值12（最值性）

（4）曲线与x轴之间面积为1.（定值性）

（5）当x时，曲线上升（增函数）；当x时，曲线下降（减函数）

并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近

（单调性）

（6）当值固定时，正态分布曲线位置由确定，曲线随之变化而沿x轴平移。（称为位置参数）当值固定时，正态分布曲线形状由确定，值越小，曲线形状越“瘦高，总统分布越集中；值越大，曲线形状越“矮胖”，总统分布越分散。（称为形状参数）（几何性）

六条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学

4．标准正态曲线:当0,1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是f(x)12ex22，（x）。其相应的曲线称为标准正态曲线

标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位

任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题

5.正态总体的概率问题:

(1)正态曲线下的面积规律:x轴与正态曲线

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所夹面积恒等于1;对称区域面积相等。

(2)特殊区间的概率: 若随机变量X~N(,2),则对于任何实数a0,概率aP(a≤)a,a(x

)dx为如图中的阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减少而变大。这说明越小, 落在区间(a,a]的概率越大，即X集中在

周围概率越大。

(3)3原则: P(X)0.6826,P(2X2)0.9544,

P(3X3)0.9974.68.3%x95.4%x99.7%x

2σ4σ6σ(4)小概率事件的含义

发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生

假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析

假设检验方法的操作程序，即“三步曲”

一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a值是否落入(3,3)；三是作出判断

(四)讲解范例：

例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值和标准差

（1）f(x)121ex22,x(,)

（2）f(x)22e(x1)28,x(,)

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（3）f(x)22(x1)2e,x(,)

2答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5

例2、标准正态总体的概率密度函数为（1）证明f(x)是偶函数；

（2）求f(x)的最大值；

（3）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。

练习：如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差。

答案:μ= 20，σ2=2 例3、在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即

~N(90,100). （1）试求考试成绩

位于区间(70,110)上的概率是多少？

（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？

1f(x)e2x22,x(,).

答案：（1）P(70110)P(90209020)0.9544答案：（2）P(80100)P(90109010)0.682620000.68261365人练习：若X~N(5,1),求(1)P(6

答案：P（6X7）[P(3X7)P(4X6)]0.95440.68260.135922答案：P（X2）（五）课堂小结

1P(2X8)10.99740.0013

222x1 、正态曲线的定义：,x1e2- 6 - 22,x,

2、正态分布的定义:如果随机变量X服从正态分布，则记作X~N(,2)

3、正态曲线的性质:非负性、对称性、最值性、定值性、单调性、几何性

4、特殊区间的概率:3原则

（六）布置作业

1.以课本习题做为基础布置相应作业练习。

[2014·2. 新课标全国卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产4所示的频率分布直方图：

品的一项质量指标值，由测量结果得如图1-

4 图1-(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，x，σ2近似为样本方差s2. 其中μ近似为样本平均数－(i)利用该正态分布，求P(187.8

(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX. 附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则p(μ－σ

p(μ－2σ

教学反思：

（1）要有明确的教学目标，备课时要依据教材，但又不拘泥于教材，灵活运用教材。在数学教学中，要通过师生的共同努力，使学生在知识、能力、技能、心理、思想品德等方面达到预定的目标，以提高学生的综合素质。

（2）要能突出重点、化解难点，讲授重点内容，是整堂课的教学高潮。教师要通过声音、手势、板书等的变化或应用模型、投影仪等直观教具，刺激学生的大脑，使学生能够兴奋起来，适当地还可以插入与此类知识有关的笑话，对所学内

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容在大脑中刻下强烈的印象，激发学生的学习兴趣，提高学生对新知识的接受能力。

（3）要善于应用现代化教学手段，例如电脑软件PPT，MATLAB，几何画板等教学软件。

（4）根据具体内容，选择恰当的教学方法，每一堂课都有规定的教学任务和目标要求。所谓“教学有法，但无定法”，教师要能随着教学内容的变化，教学对象的变化，教学设备的变化，灵活应用教学方法。

（5）关爱学生，及时鼓励，充分发挥学生主体作用，调动学生的学习积极性切

实重视基础知识、基本技能和基本方法，渗透教学思想方法，培养综合运用能力。

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