2.2.1 直接证明名师课堂实录

第2课时

用数学归纳法证明不等式

学习目标

1.学会用数学归纳法证明不等式的过程.2.体会变形和放缩法在证明过程中的应用．

一般地，对于某些与________有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果

(1)当n取第一个值________时结论正确；

(2)假设当__________________________时成立，证明当________时结论也正确．

那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．

类型一

利用数学归纳法证明不等式

1115例1

求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．

3n6n＋1n＋2

反思与感悟

用数学归纳法证明不等式的四个关键点

(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．

(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．

(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．

a2n跟踪训练1

在数列{an}中，已知a1＝a(a>2)，an＋1＝(n∈N*)，用数学归纳法证明：2an－1an>2(n∈N*)．

类型二

猜想并证明不等式

1111a例2

若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最n＋1n＋2n＋33n＋124大值，并证明你的结论．

反思与感悟

(1)通过观察，判断，猜想出结论，这是探索的关键．

(2)在用数学归纳法证明命题时，注意验证起始值．

跟踪训练2

设数列{an}满足an＋1＝a2n－nan＋1，n＝1,2,3，…. (1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式．

(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，n∈N*，有an≥n＋2.

11111．用数学归纳法证明1＋2＋2＋…＋n(n≥2，n∈N*)的第一步需证明的不2<2－n232－12－1等式为________________．

2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立，那么，下列命题成立的是________．(填序号) ①若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立；

②若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立；

③若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)

④若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立．

3．以下是用数学归纳法证明有“n∈N*时，2n>n2”的过程，

证明：(1)当n＝1时，21>12，不等式显然成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即2k>k2. 那么，当n＝k＋1时，2k1＝2×2k＝2k＋2k>k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. ＋

即当n＝k＋1时不等式也成立．

根据(1)和(2)，可知对任意n∈N*不等式都成立．其中错误的步骤为________．(填序号) 1113n4．用数学归纳法证明1＋2＋2＋…＋2≥时，假设n＝k时，命题成立，那么当n＝k23n2n＋1＋1时，只需证明________________________________即可．

1．n＝k＋1时式子的项数，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化容易被弄错．因此对n＝k与n＝k＋1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．

2．“假设n＝k(k≥1)时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设．

3．由于是不等式的证明，所以在转化过程可能用到基本不等式及分析法、综合法、放缩法等．

答案精析

知识梳理

正整数

(1)n0

(2)n＝k(k∈N*，且k≥n0)

n＝k＋1 题型探究

类型一

111157例1

证明

①当n＝2时，左边＝＋＋＋＝，

345660故左边>右边，不等式成立．

②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立，

即1115＋＋…＋>，

3k6k＋1k＋2则当n＝k＋1时，

111111＋＋…＋＋＋＋

3k3k＋13k＋23k＋1k＋1＋1k＋1＋2＝11111115111＋＋…＋＋(＋＋－)>＋(＋＋－3kk＋1k＋23k＋13k＋23k＋3k＋163k＋13k＋23k＋31)．(*) k＋1方法一

(分析法) 5下面证(*)式>，

6即1111＋＋－>0，

3k＋13k＋23k＋3k＋1只需证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)>0，

只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)>0，

只需证9k＋5>0，显然成立．

所以当n＝k＋1时，不等式也成立．

方法二

(放缩法) 1155(*)式>(3×－)＋＝，

3k＋3k＋166所以当n＝k＋1时，不等式也成立．

由①②可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．

跟踪训练1

证明

①当n＝1时，a1＝a>2，命题成立；

a2k②假设当n＝k(k∈N)时，命题成立，即ak>2，则当n＝k＋1时，ak＋1－2＝－2＝2ak－1*

ak－22>0，

2ak－1∴当n＝k＋1时，命题也成立．

由①②得，对任意正整数n，都有an>2. 类型二

例2

解

取n＝1，11126＋＋＝，

1＋11＋23×1＋12426a令>⇒a<26，且a∈N*，

2424所以取a＝25. 11125下面用数学归纳法证明＋＋…＋>. n＋1n＋23n＋124①当n＝1时，已证结论正确．

11125②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，＋＋…＋>，

k＋1k＋23k＋1241111111则当n＝k＋1时，有＋＋…＋＋＋＋＝(＋k＋1＋1k＋1＋23k＋13k＋23k＋33k＋1＋1k＋111111125112＋…＋)＋(＋＋－)>＋[＋－]．

k＋23k＋13k＋23k＋33k＋4k＋1243k＋23k＋43k＋16k＋111因为＋＝2

3k＋23k＋49k＋18k＋86k＋16k＋12>2＝，

2＝9k＋18k＋99k＋13k＋1112所以＋－>0，

3k＋23k＋43k＋111125所以＋＋…＋>，

k＋1＋1k＋1＋23k＋1＋124即当n＝k＋1时，结论也成立．

由①②可知，对一切n∈N*，

11125都有＋＋…＋>. n＋1n＋23n＋124故a的最大值为25. 跟踪训练2

(1)解

由a1＝2，

得a2＝a21－a1＋1＝3，

由a2＝3，得a3＝a22－2a2＋1＝4，

由a3＝4，得a4＝a23－3a3＋1＝5，

由此猜想an的一个通项公式为

an＝n＋1(n≥1，n∈N*)．

(2)证明

①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立．

②假设当n＝k(k≥1，n∈N*)时，不等式成立，

即ak≥k＋2，

那么当n＝k＋1时，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3. 即当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2. 由①②可知，对任意的n≥1，n∈N*，都有an≥n＋2. 当堂训练

1．1＋122＋132<2－122－1

2.④4.3k3k＋32k＋1＋1k＋12≥2k＋3

3.(2)