1.3 二项式定理（通用）名师教学设计

1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质

教学目标：

知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。

过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。

情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。

教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

授课类型：新授课

教

具：多媒体、实物投影仪

第一课时

一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

（1）(ab)CnaCnab（2）(1x)1Cnxn1n0n1nrnrrCnabnnCnb(nN)，

rrCnxrxn. nrr2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnab

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

二、讲解新课：

1二项式系数表（杨辉三角）

(ab)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

2．二项式系数的性质：

012nr，Cn，Cn，…，Cn．Cn可以看成(ab)n展开式的二项式系数是Cn以r为自变量的函数f(r)

定义域是{0,1,2,,n}，例当n6时，其图象是7个孤立的点（如图）

mnm（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵CnCn直线r）．

n是图象的对称轴．

2

（2）增减性与最大值．∵Cnkn(n1)(n2)(nk1)k1nk1Cn，

k!knk1nk1n11k决定，，

kk2∴Cn相对于Cnkk1的增减情况由当kn1时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取2n2nn12，nn12取得最大n得最大值；

当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C值．

（3）各二项式系数和：

∵(1x)1Cnxn0n1rrCnxCxn，

rCnnCn

令x1，则2CnCnCn三、讲解范例：

12例1．在(ab)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

n证明：在展开式(ab)CnaCnab0123a1,b1，则(11)nCnCnCnCnn0n1nrnrrCnabnnCnb(nN)中，令n(1)nCn，

即0(CnCn∴CnCnn0213)(CnCn)，

0213CnCn，

即在(ab)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

说明：由性质（3）及例1知CnCn例2.已知(x开式的常数项

0213CnCn2n1. 2n)的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展2x解：依题意Cn:Cn14:33Cn14Cn

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10

4242设第r+1项为常数项，又

Tr1C(x)r1010r2r(2)r(2)rC10xx105r2

令105r0r2，

22T21C10(2)2180.此所求常数项为180

例3：

(12x)n

的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。

变式引申：

71、

(xy)

的展开式中，系数绝对值最大的项是（

）

A.第4项

B.第4、5项

C.第5项

D.第3、4项

1(x32)nx

展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于2、若

(

) A.210

B.120

C.461

D.416

2x例4、若

展开式中前三项系数成等差

数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；

（2）展开式中所有x 的有理项；

（3）展开式中系数最大的项。

四、课堂练习：

(x+14n)1．x14x1展开式中x4的系数为 ，各项系数之和为 ．

12233nCn(x1)n（n6）的展开式52．多项式f(x)Cn(x1)Cn(x1)Cn(x1)中，x的系数为 3．若二项式(3x261n)（nN）的展开式中含有常数项，则n的最小值为（

）

32x A.4 B.5 C.6 D.8 4．求2x的展开式中系数最大的项

10n2n5．在(1x)的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1x)等于（

）

2222A.0 B.pq C.pq D.pq

四、小结

：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方

面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用

五、课后作业：P36 习题1.3A组5. 6. 7.8

B组1. 2 16212nx1．已知(a1)展开式中的各项系数的和等于的展开式的常数项，而x5(a21)n

展开式的系数的最大的项等于54，求a的值(aR)

5答案：a3

2．设1x32xa0x1a1x1求：① a0a1591413a13x1a14

a14 ②a1a39a13．

9963

答案：①39319683； ②01235243．求值：2C9C92C9C92C9C92C9C92C9C9．

答案：2256

35678982964．设f(x)(xx1)(2x1)，试求f(x)的展开式中：

（1）所有项的系数和；

（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和

答案：（1）3729； 6361364；

（2）所有偶次项的系数和为2361365

所有奇次项的系数和为2六、板书设计（略）

七、教学反思：

二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。

二项式定理概念的引入，我们已经学过(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么对一般情况；(a+b)n展开后应有什么规律，这里n∈N，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容. 选择实验归纳的研究方式，对(a+b)n一般形式的研究与求数列{an}的通项公式有些类似，

大家想想，求an时我们用了什么方法，学生：先写出前n项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a+b)4的展开，因(a+b)4=(a+b)3(a+b)，我们可以用(a+b)3展开的结论计算(a+b)4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：

(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 对计算的化算：对(a+b)n展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a的指数从n逐次降到0，b的指数从0逐次升到n，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n的(n+1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用an,anan来表示，它这样一来(a+b)n的展开形式就可写成(a+b)n=ana0nn1rnrrnnra1banabanb现在的问题就是要找an的表达形式.为na01n此我们要采用抽象分析法来化简计算