3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优质课教学设计

3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学设计

教学目标

重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则．

难点:复数加法、减法的几何意义. 知识点:1.掌握复数代数形式的加、减运算法则; 2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力．

教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题. 考试点：会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点：复数的加法与减法的综合应用. 拓展点：复数与其他知识的综合. 一、

引入新课

复习知识回顾

1.虚数单位i：它的平方等于1,即i21;

2.对于复数zabia,bR：

当且仅当b0时,z是实数a; 当b0时,z为虚数; 当a0且b0时,z为纯虚数; 当且仅当ab0时,z就是实数0. 3.复数集与其它数集之间的关系：N4.复数几何意义：

ZQRC. 复数zabia,bR

复平面内的点Za,b

一一对应

复数zabia,bR

复平面内的向量OZ=a,b

我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 设计意图：通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 一一对应

二、探究新知（预习+自习）

1

探究一:复数的加法

1.复数的加法法则

我们规定,复数的加法法则如下: 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意两个复数,那么：

z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i

提出问题：

(1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?

(2)当b=0,d0时,与实数加法法则一致吗?

(3)它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: (1)仍然是个复数,且是一个确定的复数; (2)一致; (3)实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．

设计意图：加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神．

2.复数加法的运算律

实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的z1,z2,z3C,有

z1z2z2z1（交换律）, (z1z2)z3z1(z2z3)（结合律）. 设计意图：引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力．

3.复数加法的几何意义

复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设OZ1,OZ2分别与复数abi,cdi对应,则有OZ1(a,b),OZ2(c,d),由平面向量的坐标运算有

OZ1OZ2(ac,bd). 这说明两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数(ac)+(bd)i对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：

y

Z2(c,d)

Z

Z1(a,b)

O

x

由图可以看出,以OZ1、OZ2为邻边画平行四边形OZ1ZZ2,其对角线OZ所表示的向量OZ就是复数(ac)+(bd)i对应的向量.

2

设计意图：通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练学生的形象思维能力,也培养了学生的数形结合思想.另外,当两复数的对应向量共线时,可直接运算;当不共线时,可类比向量加法的平行四边形,也培养了学生的类比思想. 探究二:复数的减法

类比复数的加法法则,你能试着推导复数减法法则吗? 1.复数的减法法则

我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足

(cdi)(xyi)abi

的复数xyi叫做复数abi减去cdi的差,记作(abi)(cdi).根据复数相等的定义,有

cxa,dyb, 因此

xac,ybd, 所以

xyi(ac)(bd)i, 即

(abi)(cdi)(ac)(bd)i. 这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是一个确定的复数. 设计意图：复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.让学生自己动手推导减法法则,有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力．

2.复数减法的几何意义

设OZ1,OZ2分别与复数abi,cdi对应,则这两个复数的差z1—z2与向量OZ1—OZ2（即Z2Z1）对应,这就是复数减法的几何意义.如图所示. y

O

Z1Z2

x

设计意图：两个复数的差z1—z2（即OZ1—OZ2）与连接两个终点Z1,Z2,且指向被减数的向量对应,这与平面向量的几何解释是一致的;它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能,也使数和形得到了有机的结合．注意：只有将差向量平移至以原点为起点时,其终点才能对应该复数. 三、理解新知

1.复数的加减法法则: 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意两个复数,规定：

z1z2(ac)(bd)i;

3

z1z2(ac)(bd)i.

2.复数加、减法的几何意义：

(1)复数的加法按照向量加法的平行四边形法则; (2)复数的减法按照向量减法的三角形法则. 3.几点说明: (1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减．

(4)复平面内的两点间距离公式:dz1—z2. 其中z1,z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数,d为点Z1和点Z2间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离．

设计意图：加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力,使学生对所学的知识有一个整体的认识,解决问题时可以信手拈来.

四、运用新知（一）

例1.计算： (56i)(2i)(34i)解：

(56i)(2i)(34i) (523)(614)i

11i

设计意图：直接运用复数的加、减法运算法则进行,就是将它们的实部、虚部分别相加、减,实数范围的运算律在复数范围内仍然成立.

变式训练: 1、计算(12i)(23i)(34i)(45)i(19992000i)(20002001i). 解：（解法一）原式(12345619992000)(2345620002001)i

10001000i. （解法二）(12i)(23i)1i; (34i)(45i)1i; …

(19992000i)(20002001i)1i. 将上列1000个式子累加,得

1000(1i)10001000i. 设计意图：复数的加减法,相当于多项式加减中的合并同类项的过程;如果根据给出复数求和的特征从局部入手,抓住了式子中相邻两项之差是一个常量这一特点,适当地进行组合,从而可简化运算.进一步巩固复数加减运算,并带有一定的规律性.

2、计算(1)

(1+3i)+(-4+2i)

(2) (1－3i )+(2+5i) +(-4+9i)

4

(3) 已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi, 求实数a、b的值。

（4）若z1=x+2i，

z2=3-yi，且z1+z2=5-6i，求z1-z2 运用新知（二）

我们知道, 两个向量的和满足平行四边形法则, 复数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性呢？

例2.复平面上三点A,B,C中，点A对应的复数是2+i，向量BA对应的复数为1+2i，向量

BC对应的复数为3-i，求点C对应的复数。

y 运用新知（三）

拓展：已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. (1)

|z－(1+2i)| 解：点A到点(1,2)的距离

(2)

|z+(1+2i)| 解：点A到点(－1, －2)的距离

(3)

|z－1| 解：点A到点(1,0)的距离

(4)

|z+2i| 解：点A到点(0, －2)的距离

例3.已知复数Z满足Z23i1，试求出复数Z对应点的轨迹方程.

5 x

设计意图：在问题中由复数相等的概念,把复数问题实数化,既复习了概念,又锻炼了学生的计算能力和解决问题的能力; 在问题中把z转化为复数z所对应的点与原点的距离,解决此类问题的关键是利用复数的几何意义画出图形,在图形中寻求答案,把数转化成形,利用数形结合思想解决即可．

变式训练:1、已知复数m=2－3i,若复数z满足不等式|z－m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形? 解：以点(2, －3)为圆心,1为半径的圆上

2、满足条件 Zi34i 的复数Z在复平面上对应点的轨迹是( ) A.一条直线 B.两条直线

C.圆 D.其它

答案：C 3、复数Z满足

z33i3，

则

z的最大值是____，最小值是______. 答案：33，3

设计意图：通过变式训练,便于学生全面的认识利用复数差的模的几何意义解决问题,提高学生理解、运用知识的能力. 五、课堂小结 (一)知识: 1.复数代数形式的加法、减法的运算法则; 2.复数加法、减法的几何意义. 3.几点说明:

(1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减．

(4)复平面内的两点间距离公式:dz1—z2. 其中z1,z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数,d为点Z1和点Z2间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离．

(二)

思想方法:类比的思想、转化的思想、数形结合的思想．

设计意图：通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．深化对知识的理解,完善认识结构,领悟思想方法,强化情感体验,提高认识能力.引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成.

六、布置作业 必做题：

6

1.计算：(1)(24i)(34i);

(2)(34i)

(2i)(.12.复数6+5i与3+4i对应的向量分别是OA与OB,其中O是原点,求向量AB,BA对应的复数,并指出其对应的复数位于第几象限. 3.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,52i,则由A,B,C所构成的三角形△ABC是 三角形.

4.求复数2i,3i所对应的两点之间的距离．

5.已知复数z满足z+z28i,求复数z. 6.已知平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数分别为0,32i,24i,试求:

(1)AO表示的复数; (2)CA表示的复数;

(3)B点对应的复数. 答案: 1.(1)5; (2)22i. 2.9i,位于第三象限; 9i,位于第一象限. 3.直角三角形.

4.5.

5.z158i.

6.(1)32i;

(2)52i;

(3)16i

选做题：

1.在复平面内,求满足方程z+izi4的复数z所对应的点的轨迹．

2.复数z1,z2满足z1z21,z1+z22,求z1z2.

答案： 1.提示:方程可以变形为z(i)zi4|,表示到两个定点(0,1)和(0,1)距离之和等于4的点的轨迹,故满足方程的动点轨迹是椭圆．

2.提示:法一:数形结合思想,构造边长为1的正方形,则其中一条对角线的长度为2,则所求的另一条对角线的长度也等于2. 法二:(向量法)设z1,z2所对应的向量分别是a,b,将z1+z2所以z1z22两边平方得ab0,则(z1z2)22,2. 设计意图：设计必做题是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯,是让学生会用复数代数形式的加法、减法的运算法则进行计算;设计选做题意在培养学生深刻理解复数差的模的几何意义,增加问题的多样性、趣味性,训练学生思维的发散性、深刻性.让学生理解知识之间的联系,培养学生用整体的观点看问题,起到巩固旧知的作用．

七、教后反思

1.（1）本节中由于复数的加法法则是规定的,从问题入手,引导学生思考,让学生理解这种规定的合理性．在复数加法的运算律及几何意义的处理上,都是让学生自主探究,使学生在参与中学会学习,学会合作,突出体

7

现以学生为主,教师为辅的新课程理念．

(2)对于复数减法的处理,采用了类比的数学思想方法,让学生自主探究,自己总结,且法则可以用已学的知识推导,使学生体会其中的思想方法,培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力．

(3)例题和练习的设计遵循由浅入深,循序渐进的原则,低起点,多落点,高终点,尽可能地照顾到各个层次的学生．

2.本节课努力在复数的几何意义的例题体现学生的动手能力. 八、板书设计

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

一、复习回顾

例题板演(例2)

二、加减运算

学生练习板演

三、几何意义

课堂小结

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