2.3.2 圆的一般方程公开课教学设计模版

圆的一般方程 一、教材分析：

1.地位与重要性

本节课是高中数学必修2第四章平面解析几何初步中《圆的方程》一节重要内容。其主要内容是通过圆的标准方程推出圆的一般方程。使学生加深对圆的一般方程的认识与记忆，认识到标准方程与一般方程的联系与区别。并对数学中分类思想，对比记忆等思想有更深的了解和掌握。

2.教学目标

知识目标：1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点

2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径

3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程

能力目标：1).认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。

2).通过分析，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。

情感目标：培养学生勇于思考问题，勇于探究问题的精神。

3.教学重难点

教学重点：1.圆的一般方程x2y2DxEyF0的形式特征。 2.待定系数法求圆的方程。

3.求轨迹方程

教学难点：方程x2y2DxEyF0对D2E24F分类讨论如下：

DE,) 22当D2E24F0时，方程不表示任何图形。

DE当D2E24F0时，方程表示一个圆。以(,)为圆心，以221RD2E24F为半径的圆。

2难点突破：通过对D2E24F的分类讨论，使问题化难为易，难点个个攻破，使课堂教学显得轻松易学。

二．教法分析

根据以上教材分析，贯彻以启发性教学原则，教师引导，学生学习为主体的教学思想。具体的教法为

1）启发式教学：通过学生对圆的标准方程的观察，提出问题，让学生讨论，交流，总结并发表意见，说出圆的一般方程的形式。

2）分析与讨论结合：教师对问题的适时启发，引导，与学生的讨论相结合，将问题的三种情况分析清楚。

3）多媒体辅助教学：借助多媒体教学，提高课堂教学的效率，加大课堂的信息量，使教学目标更好的实现。

三．学法分析

数学教学不但要传授学生课本知识，更要培养学生的数学学习能力。在教学活动中，教师提出疑问，引导学生主动思考，主动探究，讨论交流，在积极的学习中解决问题，获得知识。整个过程贯穿“疑问”—“思索”—“发现”—“解惑”四个环节。注意学生思维的持续性和发展性，促进学生数学思维的形成，提高学生的综合素质，实现素质教育的目标。

当

D2E24F=0 时，方程表示一个点(

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四．教学过程设计

（一）复习旧知，引入新知 让学生回顾圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，

并指出圆心坐标以及半径长。

圆的标准方程特点是可以很直观地指出圆心和半径。

设计意图：复习学生已经掌握的圆的标准方程，并为圆方程改写成二元二次方程的形式引出圆的一般方程做铺垫。

（二）创设情境，引发思考

圆的标准方程展开得：

x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 由于a,b,r均为常数，故设 D=-2a， E =-2b , F = a2+b2-r2 此方程可写成下面的形式：

x2y2DxEyF0

① 故任何一个圆的方程都可以用上式表示。

反过来，想一想，形如①的方程表示的曲线一定是圆吗？

设计意图：由圆的标准方程展开问题引发概念，激发学生兴趣，给学生思考、探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析和解决问题的能力。

（三）深入思考，得出结论

如果形如①的方程表示的曲线是圆，那么由方程可求出圆心和半径。

D2E2D2E24F下面我们配方整理可得：(x)(y) ②

224D2E2D2E24F222比较圆的标准方程 (x-a)+(y-b)=r与(x)(y)的形

224式

上式表不表示圆，关键跟D2E24F的正负有关。

DE1D2E24F为1）当D2E24F0时，表示以(,)为圆心，以R222半径的圆。

DE2）当D2E24F=0时，方程只有实数解

x， y

22DE即表示一个点(,)。

22223）当DE4F0时，方程没有实数解，因而不表示任何图形。

综上所述，方程x2y2DxEyF0表示的曲线不一定是圆，只有当D2E24F0时，它表示的曲线才是圆，此时x2y2DxEyF0叫圆的一般DE1D2E24F为半径的圆。

方程。表示以(,)为圆心，R222

设计意图：通过本过程，学生实现了对圆的方程更深的理解，实现了对圆的一般方程的理解。引导学生理解圆的一般方程的意义，真正知道什么情况下表示圆，并理解为什么。

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（四）两相对比，加深理解

标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2明确指出了圆心和半径。

一般方程：x2y2DxEyF0突出了形式上的特点

1．x2和y2的系数相同，且不等于0。

2．没有xy这样的二次项。

3. D2E24F0

设计意图：通过比较，不仅复习了以前的知识，增强了记忆。对今天的新课也有了更深层次的理解。

（五）知识运用，巩固概念

例1．判别下列方程表示什么图形,如果是圆,找出圆心和半径。

x2+y2-2x+4y+1=0 22x+y+2by=0 （b≠0）

例2．方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时, m的取值范围是（ D ）

1A. m1 B. m1

411C. m D. m或m1

44设计意图：本题较简单，先让学生独立求解，然后教师规范解题格式。

设计目的是让学生应用新知，巩固知识，强调方程表示圆的条件。

同时也增强学生自信，提高兴趣。

例3．求过三点O (0,0),M1(1,1), M2(4,2), 的圆的方程，并指出圆心和半径。

设计意图：让学生通过自主解答，发现困难，教师适时引导，总结出用待定系数法求圆的一般方程的步骤。通过本小题进一步理解待定系数法这一思想。

注：用待定系数法求圆的方程的步骤：

（1）根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；

（圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较

）

(1)若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. (2)若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. （2）根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；

（3）解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程

（六）拓展应用，深化概念

例4 已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆上(x + 1)2 + y2 = 4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书. 分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程(x + 1)2 + y2 = 4.建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程. 总结求轨迹方程的基本思想：

设动点坐标，求出动点坐标x，y所满足的关系.

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例5已知一曲线是与两定点O(0,0)、P(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。

学生上黑板板演，设计意图：巩固求轨迹方法的基本思想。

（七）课堂小节，形成体系

1．本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为x2y2DxEyF0

（D2E24F0）

DE1D2E24F为半径的圆。

表示以(,)为圆心，R2222．圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较 (1)若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. (2).若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. 3.本节课用的数学方法和数学思想方法：

①数学方法：配方法(求圆心和半径). 待定系数法(求圆的一般方程) ②数学思想方法：问题转化和分类讨论的思想(原则是不重复,不遗漏) 六．作业布置：P123 七．板书设计：

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