2.基本不等式教案及板书设计

《基本不等式》

教

学

设

计

赵

少

静

河北省曲阳永宁中学

基本不等式

【案例背景】 《基本不等式》是人教A版普通高中新课程标准实验教科书数学必修5第三章第四节内容，是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。

要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，基本不等式是必不可缺的。基本不等式在不等式知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，虽然近几年高考对不等式的证明要求有所降低，但是主要以求最值等形式出现，所以利用基本不等式求最值应重点研究。

另外，教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在实际问题的计算中也常涉及到。另外，对基本不等式的求最值得应用不仅有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

【案例主题】 一、教学设计思路 本节课是复习课，通过上几节课的学习，让学生自己观察、分析、发现解题规律，进而归纳总结出一般方法。

二、教学目标及重点难点

教学目标 （一）

知识与技能：

进一步掌握基本不等式（二）

过程与方法：

通过对问题的探究，培养学生分析问题、解决问题及归纳能力。 （三）

情感态度与价值观：

激发学生学习和应用数学知识的兴趣，培养严谨的科学态度。 教学重点 基本不等式成立时的三个限制条件

abab，会应用此不等式求某些函数的最值。 2

利用基本不等式求函数的最值 教学难点 拆项、凑项、换元等方法构造基本不等式的形式，及基本不等式成立的条件

【案例细节】 （一）

复习回顾 1、

基本不等式：若a0,b0，则有abababab2，2。当且仅当a=b时，

2、

利用基本不等式求最值应具备的条件是什么？

（二）

典型引路

求下列函数的值域 3x2

（1）（1）y＝11xx

x2 （2）y＝（三）题型归纳 1．y=Ag(x)BC(A0,B0)类型函数求最值（g(x)恒正或恒负） g(x)例1：求下列函数的值域 113x （2）y＝

23xx51 例2：已知x,求函数y=2x3的最大值

22x5（1）y＝2x2方法：凑项 ax2bxcymxn类型函数求最值（给出x的范围） 2．

x25x10例3. 求y（x>-1）的值域。

x1法一：分离 法二：换元 x2x4yx1（x>-1）的最小值

变式：1、求函数 yx1(x1)x2x4的最大值呢？若改为x > 4呢 变为求

2.求函数x26x4的值域。 ax注意：若遇等号取不到的情况，应结合函数3．yax(bcx)（ac<0）类型函数求最值

例4. 当0

x26x4的最大值。 3变式：设0

二元函数的条件最值 41例5.（1)已知 x,y>0且 x+y=1 ，求xy 的最小值. 112xy

（2）已知正数x,y 满足，求 x+2y 的最小值.

方法：整体代换 注意：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性 例6.已知x>0,y>0,xy=x+y+5, 求xy和x+y的取值范围 方法：构造不等式 （四）变式训练 求下列函数的最小值，并求取得最小值时对应的x 的值. y2x1x5,x>3 9,(0,)sinx （1）（2）ysinx（五）达标检测 求下列函数的最小值，并求取得最小值时对应的x 的值. （1）

已知0

（2）若20

【拓展性习题】 y1ab

的最小值 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数

（六）学习总结 我们利用均值不等式求最值时，一定要注意三个条件“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式并求最值。

【案例结果】 通过本节课的学***多数学生们掌握了利用基本不等式求最值得几种方法，举一反三在课堂上有了很好的效果，同时，好多同学通过大量的练习习题，更加深刻的理解了基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，做题也更加细心和严谨，通过本节课的学习，老师和学生都有了很大的收获。

【案例评析】 学生通过这节课的学习不仅掌握了利用基本不等式求最值的几种常用方法，还体验到成功的喜悦，进而使学生掌握了学习数学的方法，也给学生增强了很大的自信心，使学生们数学课堂上深深地体会到学习知识的乐趣，为以后的数学教学奠定良好的基础，培养了学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。因此，本节课应为一节高效课堂。