1.不等式的基本性质课件配套优秀公开课教案设计

不等式的基本性质

教学设计与反思

课题：不等式的基本性质

科目：

高中数学

提供者：马能标

一、教学内容分析

选修4-5不等式选讲的内容，可以认为是必修五不等式一章的继续、深入和提高，从感性上升到理性.内容上保持相对的完整。使不等式内容及思想方法系统化。体现循序渐进，螺旋上升。以回顾和学习出发，对不等式基本性质系统地归纳、整理。对学生的思维能力、运算能力、综合能力提出了更高的要求，既是复习又是提高，教学中可以结合原来的知识，边复习边提高，使得学生的不等式水平提高到一个新的高度

二、教学目标

（一）核心素养

在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标

1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点

应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点

灵活应用不等式的基本性质. 三、教学策略选择与设计

教学对象：

高三学生

单位：

永平县第一中学

课时： 1课时

1

根据上述教材分析和目标分析，贯彻启发性教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革，确定本课主要的教学策略为：

1、计算机辅助教学

借助多媒体教学手段引导学生，使问题变得直观，易于突破难点；

2、讨论式教学

让学生尝试自己归纳总结，让学生分组（四人一组）讨论、交流、总结，由小组成员代表小组发表意见（不同层次的组员回答，教师给予评价不同）

3、讲议结合教学

教师耐心引导、分析、讲解和提问，并及时对学生的意见进行肯定与评议。

4、分层教学

提问分层、评价分层、作业分层，注意面向全体学生，充分调动不同层次学生的积极性。

设计特色：教无定法，贵在得法．诱思探究学科教学论认为：在教学思想上是启发式，在教学过程上是探究式，在教学价值上是发展式。德国教育学家第斯多惠也曾说过：教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞．为了充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手，充分让学生参与教学活动。同时利用多媒体电教手段提高学生的学习兴趣．采用启发、引导和学生探究、实践、体验相结合的教学方法；教给学生“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现、重体验、促发展”的学习方法．体现“教师是主导，学生是主体”的教学原则．使学生不但“学会”而且“会学”，并逐步感受到数学的美，产生成就感，从而极大地提高对数学的学习兴趣。也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。

四、教学过程

（一）课前设计

预习、自测

（1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空：

ab ab ab （2）当x ，代数式(x1)2的值不大于x1的值. 作差比较法：(x1)2(x1)x2xx(x1)

2

熟悉作差比较法

答案：[0,1]

(二)课堂设计

1.问题探究

探究一 结合实例，认识不等式

●活动① 归纳提炼概念

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法

关于实数a,b的大小关系，有以下基本事实：

如果ab，那么ab是正数；

如果ab，那么ab等于零；

如果ab，那么ab是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：abab0;abab0;abab0，上面的符号“”表示“等价于”，即可以互相推出. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与零的大小，这是研究不等式的一个出发点.这种方法称为作差比较法. 【设计意图】通过基本事实，加深对不等式的理解，突破重点. ●活动③ 了解作差比较法的步骤

例1 试比较(x3)(x7)和(x5)(x6)的大小. 【知识点】作差比较法

【数学思想】分类讨论思想

【解题过程】

第一步：作差 (x3)(x7)(x5)(x6)

第二步：变形 (x3)(x7)(x5)(x6)(x210x21)(x211x30)x9

3

第三步：定号 当x90时，x9；当x90时，x=9；当x90时，x9

第四步：结论

当x9时，(x3)(x7)(x5)(x6)；

当x9时，(x3)(x7)=(x5)(x6)；

当x9时，(x3)(x7)(x5)(x6)；

思考：作差比较法的步骤中，哪一步最为关键？

第二步变形最重要，变形要变到可以判断代数式的正负为止，变形的方法通常有分解因式，配方，平方，有理化等. 同类训练 比较(x1)(x2)与(x3)(x6)的大小. 【知识点】作差比较法

【数学思想】分类讨论思想

【解题过程】

因为

(x1)(x2)(x3)(x6)(x23x2)(x23x18)200，

所以(x1)(x2)(x3)(x6)

【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤

【答案】(x1)(x2)(x3)(x6)

【设计意图】通过对作差比较法的步骤分析，更加深刻理解不等式. 探究二 探究不等式的基本性质

●活动① 认识不等式的基本性质

我们知道，等式的基本性质是从数的运算的角度提出的.同样的，由于不等式也研究实数之间的关系，所以联系实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）来思考不等式的基本性质是非常自然的.例如，不等式两边加（或乘）同一个数，不等式是否仍然成立？等等. 由两个实数大小关系的基本事实，可以得出不等式的一些基本性质. （1）如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即abba. （2）如果ab,bc，那么ac.即ab,bcac. （3）如果ab，那么acbc. （4）如果ab,c0，那么acbc；如果ab,c0，那么acbc. 4

（5）如果ab0，那么anbn(nN,n2). （6）如果ab0，那么nanb(nN,n2). 通过语言叙述可以加深理解上述基本性质.例如，性质（4）可以表述为：不等式两边同乘一个正数，不等号同向；不等式两边同乘一个负数，不等号反向. 对于以上的基本性质，可采用作差比较法来证明，如性质（4）：

证明：acbcc(ab)，如果ab,c0，则ab0,c0，所以acbcc(ab)0，即acbc，同理如果ab,c0，那么acbc. 思考：通过不等式的基本性质，在研究不等式时，需要特别注意什么问题？

1.注意公式成立的条件，要特别注意“符号问题”；

2.以上不等式的基本性质可以得到严格证明；

3.要会用自然语言描述上述基本性质；

4.上述基本事实和基本性质是我们处理不等式问题的理论基础. 【设计意图】通过对不等式的性质的认识，为后面的运用做好铺垫. ●活动② 巩固理解，拓展延伸

上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式时，经常以它们作为出发点.例如，利用不等式的基本性质可以得到下列结论：

（1）如果ab,cd，那么acbd；

（2）如果ab0,cd0，那么acbd；

（3）如果ab0,ab，那么11. ab对于上述（2），可由如下方法证明：

acbd(acbc)(bcbd)c(ab)b(cd)0，所以acbd. 【设计意图】从给出的基本性质到延伸性质，加深对不等式的认识.

探究三 不等式性质的应用

●活动①

利用性质证明不等式

5

例2 已知ab0,cd0，求证：【知识点】不等式的基本性质

【解题过程】

ab. dc证明：因为ab0,cd0，所以ab0,【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】见解析

ab11ab. 0.所以，故dcdcdc同类训练 求证：如果ab0,cd0，那么acbd. 【知识点】不等式的基本性质

【解题过程】证明：因为cd0，所以cd0，又因为ab0，所以两式可相乘，得acbd，所以acbd. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】见解析

【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用不等式的性质证明不等式. ●活动②

课堂互动交流

1．实数大小的比较 (1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的 ．在数轴上，右边的数总比左边的数 ． (2)如果a－b＞0，则 ；如果a－b＝0，则 ；如果a－b＜0，则 . (3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的 ． 2．不等式的基本性质 由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即

. (2)如果a＞b，b＞c，那么 .即a＞b，b＞c⇒ . 6

(3)如果a＞b，那么a＋c> . (4)如果a＞b，c>0，那么ac bc；如果a>b，c<0，那么ac bc. (5)如果ab0，那么an______bn(nN,n2). (6)如果ab0，那么na____nb(nN,n2)

【知识点】不等式的基本性质

例3 若110，以下结论中正确的有 ab①abab； ②|a||b|； ③ab； ④a2ab0

【知识点】不等式的基本性质；特殊值法

【数学思想】特殊与一般思想

【解题过程】法1：由110，得ba0，所以ab0ab，①正确，②③错误；

aba2aba(ab)0，④正确

法2：取a1,b2，可算出各式的值，得出答案. 【思路点拨】熟悉不等式的基本性质，掌握特殊值法. 【答案】①④

同类训练 判断下列各命题的真假，并说明理由：

（1）如果ab，那么acbc；（2）如果ab，那么ac2bc2；

（3）如果ab，那么anbn(nN*)anbn(nR)；（4）如果ab,cd，那么acbd. 【知识点】不等式的基本性质

【解题过程】（1）是假命题，因为不知c的正负；（2）是假命题，因为当c0时不成立；（3）是假命题，因为不知a,b的正负；（4）是真命题，因为ab,cd，由同向不等式的可加性知,acbd. 【思路点拨】熟悉不等式的基本性质

【答案】见解析

【设计意图】通过分析不等式的结论是否正确，掌握利用不等式的性质判断及特殊值判7

断. 2.课堂小结

知识梳理

（1）abab0;abab0;abab0. （2）作差比较法的步骤：作差、变形、定号、结论. （3）不等式的基本性质. 重难点归纳

（1）应用不等式的基本性质推理判断命题的真假. （2）灵活应用不等式的基本性质. 课后作业：

1.p9第一题（写在书上)

2.P9第二题（写在本上）

五、教学评价设计

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学生学习综合评价表

学习内

容

学习态度、学习方法、学习过程及学习内容

等级

本人评价

同学评价

教师评价

班级

姓名

学号

A B C D A B C D A B C D

1、课前积极预习，积极参加

学习小组活动，积极提出意见和建议。

2、围绕课堂主题主动提出问

题、学习过程中积极思维

3、有参与意识、积极参加课

堂的讨论、

发表自己的见解

4、参与信息的收集、整理、

收获。

交流等

5、课后与同学，老师的交流

学习

6、作业情况

7、在数学研究性学习中与他

人合作，完成任务的情况

8、帮助同学解决问题或向同

学提出问题的情况

对自己的不足和进步的认识

同学综合评价和建议

教师的评价和鼓励

综合评定意见

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六．教学反思

比较成功的地方：

教学思路清晰，各个环节过渡比较自然，课堂教学设计得比较紧凑，自然，合理，符合学生认知的基本规律．符合探究的一般方法。让学生通过观察、学生讨论、进一步合作交流得到结论，也是本节课中一大的亮点，充分体现以学生为主的教学思路．体现了新课改中倡导的“自主探究、合作交流”的教学理念，有利于培养学生主动探究的意识．

需要改进的地方：

课堂设计了让学生“自主探究、合作交流”的教学思路，但学生对“合作—交流”的热情不够，不太主动——在调动学生积极参与课堂活动方面做得不够好．由于导入的过程时间稍长，加之本节课的容量过大，尽管在例题的教学过程中及时的改变了教学策略，但还是导致了学生练习时间较少．

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