1.不等式的基本性质教案3

《不等式的基本性质》教学设计

课 题：

不等式的基本性质(第1课时) 核心素养：

在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平.

教学目标：

1．

理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。

2．

掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，分析法证明简单的不等式。

教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；利用不等式的性质求范围。

教学难点：灵活应用不等式的基本性质。

教学过程： 一、引入：

如何比较两个实数

x4与4x1的大小？

抓住目标,单刀直入,从实际问题出发，激发学生的热情,参与到课堂,以问题引出不等式的基本性质。

二、不等式的基本性质：

1.作差比较法

关于实数a,b的大小关系，有以下基本事实：

如果ab，那么ab是正数；如果ab，那么ab等于零；如果ab，那么ab是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：abab0;abab0;abab0，上面的符号“”表示“等价于”，即可以互相推出. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与零的大小，这是研究不等式的一个出发点.这种方法称为作差比较法. 得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

例1.比较下列两个数的大小. 2

1

(1)比较(x3)(x7)和(x4)(x6)的大小；

(2)设Ax3x,B3x23,且x3,试比较A与B的大小.

（1）分析：通过作差法比较两个实数的大小。

解：(x3)(x7)(x4)(x6)30.

故(x3)(x7)(x4)(x6).

（2）分析：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。

解

：AB(x3x)

（3x23）x(x21)3(x21)

(x3)(x1)(x1)x3x30,x10,x10

AB0

故AB

归纳：“差比法”的四个步骤：作差、变形化简、定号、下结论。

点拨：两实数的大小比较方法：

1. “差比法”:A>B⇔A－B>0；A＝B⇔A－B=0；A0，B>0，则A>B⇔A1

B【设计意图】通过习题训练，熟悉作差比较法比较大小的步骤，强调变形最重要，变形要变到可以判断代数式的正负为止，变形的方法通常有分解因式，配方，平方，有理化等.

问题：类比等式的基本性质，不等式有哪些基本性质呢？

2、不等式的基本性质：

.对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c. ③.（1）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c. （2）同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d. ④.（1）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc; a>b，c<0⇒acb>0，c>d>0⇒ac>bd.

2

nn⑤.乘、开方法则：a>b>0⇒ab，nanb(n∈N，n≥2)．

n特别地，当n为奇数时，条件可放宽为：a>b，也有an>bn，anb(n∈N，n≥2)11⑥.倒数性质：a>b，且ab>0⇒．

ab三.利用不等式的性质简单证明不等式

ab

例2.(1)若ab0,cd0,求证：dcab（2）已知cab0,求证：cacb

(1)证明：因为ab0,cd0，所以ab0,11ab0.所以，故ab. dcdcdc(2)利用“分析法”，得出证题思路。教师再输出过程。

证明：∵a又cb

∴-ab

ab0

∴0cacb

110．

cacb又a∴b0

ab. cacb【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用不等式的性质证明不等式. 四.利用不等式的性质求范围

例3.(1)已知6a8,2b3,分别求ab,ab,2a3,的取值范围.

(2)已知1ab2,2ab4,求4a2b的取值范围.

注意：不等式性质的准确应用，没有同向相减性和同向相除性。本题中特别讲清“同向同正可乘性”与“可乘性”的区别。

四. 课堂总结

1.比较两个实数的大小

2.不等式的基本性质

3.利用不等式的基本性质证明简单不等式或求取值范围

五.课后作业

acbd1.已知ab0,cd0,求证：acbd

2.已知4,,求2-的取值范围.

333

4