探究与发现 组合数的两个性质教学设计模板

1.3二项式定理

学习目标：

1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；

3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力

学习重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用

学习难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

0n1n（1）(ab)nCnaCnab1（2）(1x)n1CnxrnrrCnabnnCnb(nN)，

rrCnxxn. rnrr2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnab

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

二、讲解新课：

1 二项式系数表（杨辉三角）

(ab)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

2．二项式系数的性质：

012nr，Cn，Cn，…，Cn．Cn可以看(ab)n展开式的二项式系数是Cn成以r为自变量的函数f(r)

定义域是{0,1,2,,n}，例当n6时，其图象是7个孤立的点（如图）

mnm（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵Cn）．

Cn直线rn是图象的对称轴．

2kn(n1)(n2)(nk1)k1nk1Cn，

k!knk1nk1n1kk11k∴Cn相对于Cn的增减情况由决定，，

kk2n1当k时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取2（2）增减性与最大值．∵Cn得最大值；

当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C值． （3）各二项式系数和：

1∵(1x)n1CnxrrCnxn2nn12n，Cn12n取得最大xn，

rCnn

Cn012令x1，则2nCnCnCn三、讲解范例：

例1．在(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

0n1n证明：在展开式(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)中，令0123a1,b1，则(11)nCnCnCnCn02即0(CnCn02∴CnCnnn，

(1)nCn13)(CnCn)，

13CnCn，

即在(ab)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

02说明：由性质（3）及例1知CnCn13CnCn2n1.

例2．已知(12x)7a0a1xa2x2（1）a1a2a7x7，求：

a7； （2）a1a3a5a7； （3）|a0||a1|77|a7|. 解：（1）当x1时，(12x)(12)1，展开式右边为

a0a1a2a7

∴a0a1a2a71，

a7112，

当x0时，a01，∴a1a2（2）令x1，

a0a1a2a71 ① 令x1，a0a1a2a3a4a5a6a737 ②

137①②

得：2(a1a3a5a7)13，∴

a1a3a5a7. 27（3）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正，

∴由（2）中①+②

得：2(a0a2a4a6)137，

137∴

a0a2a4a6， 2∴|a0||a1||a7|a0a1a2a3a4a5a6a7

(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)37

例3.求(1+x)+(1+x)+…+(1+x)展开式中x的系数

2103(1x)[1(1x)10]解：(1x)(1x)

（1x）1(1x)210(x1)11(x1)=，

x∴原式中x实为这分子中的x，则所求系数为C11

347例4.在(x+3x+2)的展开式中，求x的系数

25解：∵(x3x2)(x1)(x2)

∴在(x+1)展开式中，常数项为1，含x的项为C155x，

525554在(2+x)展开式中，常数项为2=32，含x的项为C152x80x 55∴展开式中含x的项为

1(80x)5x(32)240x，

∴此展开式中x的系数为240

例5.已知(x2n)的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式2x

的常数项

242解：依题意C4n:Cn14:33Cn14Cn

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10

设第r+1项为常数项，又

Tr1C(x)令r1010r2r(2)r(2)rC10xx105r2

105r0r2，

22T21C10(2)2180.此所求常数项为180

四、课堂练习：

（1）2x5y的展开式中二项式系数的和为 ，各项系数的和为 ，二项式系数最大的项为第 项；

n（2）(x)的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 ．

201x012（3）Cn+2Cn+4Cn+123CnCn2nCnn729，则CnnCn（ ）

A．63

B.64

50C.31

D.32

（4）已知：(23x)求：(a0a22020a0a1xa2x2a50x50，

a50)2(a1a3a49)2的值

答案：（1）2，3，11；

（2）展开式中只有第六项的二项式系数最大，

∴

n10，

T4C10(x)()120x；

（3）A．

rnr五、小结

：1．性质1是组合数公式Cn的再现，性质2是从函数的角度研究的二项Cn371x3式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和； 2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：

求0.998的近似值，使误差小于0.001．

01解：0.9986(10.002)6C6C6(0.002)16C6(0.002)6，

62展开式中第三项为C60.00220.00006，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不01计，∴0.9986(10.002)6C6C6(0.002)10.998， 一般地当a较小时(1a)n1na