复习参考题公开课教案

第三章

统计案例

3.1回归分析的基本思想及其初步应用

【自主学习】

1．回归分析：是对具有 关系的两个变量进行统计分析的一种方法. 2．回归分析的步骤：

（1）．画出两个变量的 ；

（2）．求回归直线方程；

（3）．用回归直线方程进行 . 3．回归直线方程：

ˆyabx，

其中回归直线方程的回归系数b和截距a的最小二乘估计公式分别为：

ˆb(xi1nnix)(yiy)ixyii1ninxy；

(xi1x)2xi1n2inx2ˆx. ˆyba4．性质：

ˆ和回归截距aˆxaˆ的意义：

ˆbˆ中回归系数b（1）．线性回归方程yˆ的意义：x每增加（或减少）一个单位，y平均改变 个单位；

bˆ的意义：y不受x变化影响的部分. aˆx知：回归直线yˆxaˆ的计算公式aˆybˆbˆ必过点 . （2）．由线性回归方程中a5．线性回归模型：

ybxae

2Ee0,De预报变量y的值受解释变量x和 共同确定. 6．残差、残差平方和、相关指数：

ˆxaˆiyiyˆiyibˆ；

（1）残差：eiˆ(yyˆ,b（2）残差平方和：样本值与回归值差的平方和，即Qaiˆi)2；

i12n（3）对于多个不同的模型，我们还可以引入 R1(yi1ni1niˆi)2y来刻画回归的(y2iy)2效果，它表示解释变量对预报变量变化的 . R的值越大，说明残差平方和越 ，也就是说模型拟合的效果越 ； （4）在判断两个变量的 关系的强弱时，用R和r判断的效果是一样的，可任选一个．

7．非线性回归分析：对非线性回归问题进行回归分析时，也需要画出已知数据的 ，通过与各种函数（如指数函数、对数函数、幂函数等）的图象作比较，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量代换，将问题转化为 的问题来解决. 2

【基础演练】

一．选择题

1.下列各关系中是相关关系的是（ ）

①路程与时间、速度的关系； ②加速度与力的关系； ③产品成本与产量的关系； ④圆周长与圆面积的关系； ⑤广告费支出与销售额的关系。

A．①②⑤ B．②⑤ C. ①③⑤ D. ③⑤

2.变量y与x之间的回归方程（ ）

A．表示y与x之间的函数关系 B．表示y和x之间的不确定关系

C．反映y和x之间真实关系的形式 D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合

23. 在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）

A．模型1的相关指数R为0.98 B．模型2的相关指数R为0.80 C．模型3的相关指数R为0.50 D．模型4的相关指数R为0.25 ˆ23x，则变量x增加一个单位时，则（ ）

4.设有一个回归方程为yA．y平均增加2个单位 B．y平均减少3个单位

C．y平均减少2个单位 D．y平均增加3个单位

二．填空题

5.某地区研究某种小麦亩产量y(kg)与施肥量x(kg)之间的相关关系，利用回归分析得回归直ˆ10x270(0x25)，若预计亩产量为420 kg，则需施肥约 kg. 线方程yˆbxa必过 点. 6.线性回归方程y三．解答题

7．从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：

编

号

1

2

3

4

5

6

7

8 身高x/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重y/kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重，该学生的体重一定是预报值吗？

8．10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：

x

74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 y

76 75 71 70 76 79 65 77 62 72

其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩.

（1）y与x是否具有线性相关关系？

（2）如果y与x是线性相关关系，求回归直线方程．

【能力提升】

一．选择题

1.下列结论正确的是（

）

①函数关系是一种确定性关系；

②相关关系是一种非确定性关系；

③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；

④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④. 2.一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为2222ˆ=7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ）

yA．身高一定是145.83cm B．身高在145.83cm以上

C．身高在145.83cm左右 D．身高在145.83cm 3.以下为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和

15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是（ ）

A．l1和l2有公共点（s，t） B．l1与l2相交，但交点不一定是（s，t）

C．l1与l2必定平行 D．l1与l2必定重合

4.“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时，由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归，根据他的结论，在儿子的身高y与父亲的身高y=abx中，b的取值（ ）

x的回归方程ˆA．在（－1，0）内 B．等于0 C．在（0，1）内 D．在［1，+∞﹞内

二．填空题

5.在研究身高和体重的关系时，求得相关指数R= ，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多．

6.给出五组数据A(1,2.2)、B(2，4.1)、C(3，9.7)、D(4，7.8)、E(5，11.2)，则去掉 点后，剩下的四点线性相关系数最大. 三．解答题

7. 一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：

转速x（转/秒）

16

14

12

8

每小时生产有缺点的零件数y（件）

11

9

8

5

（1）对变量x和y进行线性相关关系检验；

（2）如果y

对x

有线性相关关系，求回归直线方程；

（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个，那么机器的运转速度应控制

在什么范围内？

8.要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试的成绩如下表：

学号编号

入学成绩（x）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 63 67 45 88 81 71 52 99 58 76 2高一期末成绩（y）

65 78 52 82 92 89 73 98 56 75 （1）画出散点图；

（2）计算入学成绩x与高一期末考试成绩y的相关系数；

（3）对变量x与y进行相关性检验，如果x与y之间具有线性相关关系，求出一元线性回归方程；

（4）若某学生入学数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试的成绩．

9.

某一化妆品公司有6名推销员，其工作年限与推销金额数据如下表：

工作年限（x/年）

7 6 5 3 2 1 推销金额（y/万元）

13 11 9 6 4 2

ˆbxa与yˆcx2d来拟合y与x之间的关系．

对上述数据分别用y【习题点评】

考

点

感

悟（通性通法）

相关关系、判断两个变量之间是否是相关关系，其关键是与函数关系的确定回归分析性相区别；回归分析是针对相关关系进行统计处理的一种有效方的理解

法。

线性回归方程的性质

回归分析效果的评价

线性回归分析的计算

非线性回归分析问题

由直线斜率性质x每增加（减少）一个单位，y平均改变|b|个ˆxaˆbˆ必过点（x，y）的特性求值。单位；利用回归直线y

R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好，相关指数表示解释变量对预报变量变化的贡献率.。

斜率公式会在题目给出，但数据较少且较为接近时常选择第一个公式；注意由回归直线方程求出的预报值作答时通常是“约为…”

解决非线性回归问题通过数据的散点图与各种函数（如指数、对数、幂函数等）的图象作比较，选择一种拟合得最好的函数，然后采用适当的变量代换，将问题转化为线性回归的问题来解决.