探究与发现 子集的个数有多少优秀教学设计

“子集的个数有多少”教学设计

在新课标教材中，“探索与发现”这个拓展栏目，是教材为我们提供的选学素材，有兴趣的同学可以自主选择一些内容进行探究。我在高中数学选修2-3第1章“计数原理”学习完之后，设计学生探索“子集的个数有多少”这一小节，就希望能在新课标的理念下尝试如何在教学设计以及教学过程中充分展现新课程对数学教学的新要求？这使我在着手教学设计之时就面临挑战．

一、如何处理教材

本章的教学重点是两个基本计数原理，而探索“子集的个数有多少”正是排列、组合、二项式定理的具体使用，是两个基本计数原理的应用实例．我认为，“计数原理”这一章研究的对象是计数问题，研究的方法是“问题解决”，研究的过程是“建构方法”，在本课的学习过程中，师生将面对实际计数问题（可能是已加工过的）并加以解决，这一“问题解决”过程的目标是建构方法——两个基本计数原理．因此，将本节课的教学目标拟定为：

1.通过探索“子集的个数有多少”，让学生自主建构分类加法计数原理和分步乘法计数原理。

2.让学生参与“子集的个数有多少”研究，领悟高中数学选修2-3第1章“计数原理”在教材中的地位，并尝试运用排列、组合、二项式定理等知识解决．

问题。

3.养成对数学问题不断深入研究的习惯，培养探索未知的精神；引起学生对数学有关的一些根本性问题的说明和探讨。在这一过程中，不仅是这名学生，而

是全体，都体验了不要“轻易言败”的心理历程，这也在一定程度上实现了新课程所倡导的“情感、态度、价值观”的目标．

本节课教学的重点与难点为：

1． 本节课的重点是经历对实际问题进行方法建构的过程，从而掌握解决实际计数问题的流程，即：分析问题→构造方法→选择原理→解决问题．

2． 本节课的难点是“从子集S1中元素个数的角度考虑”和“从元素ai是否出现在子集S1中的角度考虑”两个不同的探索方向，研究子集有多少个。

二、

如何组织教学

1、自学（预习准备）环节：让学生对下节课的教学内容作整体了解，明确教学内容、重难点，使学生的学有的放矢。

任务一：弄清元素、集合、子集等概念；

任务二：通过预习，让学生完成低元集合的子集的列举，从而数出子集个数。

（1）、当n=3时，3元集合（2）、当n=4时，4元集合Sa1,a2,a3的子集有多少个？请列举出来。

的子集有多少个？请列举出来。

的子集有多少个？请列举出Sa1,a2,a3,a4（3）、当n=5时，5元集合来。

Sa1,a2,a3,a4,a5课堂开始时，先检查展示预习成果。

2、互学（合作探究）环节：每个个体发挥自身特长，通过自主学习形成自己的观点、方法，在合作探究中展示、求证，相互学习，取长补短。

提出问题

：

n元集合Sa1,a2,,an的子集有多少个？小组合作讨论。

在探索过程中，集合{1，2，3，4，5}的二元子集有多少个？子集有多少个？显然遇到了困难，很明显这些问题都需要“计数”，但又无法从题意中区别是使用哪一个计数原理，但这并不影响他们的解题，大多数学生通过“数”的方法，得到了正确的结果。

以“集合{1，2，3，4，5}的二元子集有多少个？”为例，学生通过列下表

含有1的子集

不含1且含有2的子集

不含1，2且含有3的子集

不含1，2，3且含有4的子集

子集

{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}

{2,3}，{2,4}，{2,5}

{3,4}，{3,5}

{4,5}

计数

4

3

2

1

合计

10

可以知道按上述方法来计数，使用的是分类加法计数原理，该方法的要点是将计数对象（集合）分成若干类，每一类可看作一个集合，满足特征“两两交集为空，所有集合的并为全集”．实际上，这也是分类加法计数原理中类的基本要求．然而，如果我们将表变造一下：

子集

{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}

{2,1}，{2,3}，{2,4}，{2,5}

{3,1}，{3,2}，{3,4}，{3,5}

{4,1}，{4,2}，{4,3}，{4,5}

{5,1}，{5,2}，{5,3}，{5,4}

计数

4

4

4

4

4

含有1的子集

含有2的子集

含有3的子集

含有4的子集

含有5的子集

合计

20

我们会发现其中蕴含着乘法式——5×4=20，实际上，借助这个表，我们将写二元子集的步骤改为：往格子“{ , }”中不重复地填入1，2，3，4，5这五个

数字；对照集合中元素的互异性，除去重复的情形．很显然，步骤的做法数为5×4，按步骤，应当除去2，因为{a,b}与{b,a}在中都出现了，但它们是相同的集合，这样，二元子集的个数应为2 =10（个）．显然，这个做法在计数时就应当使用分步乘法计数原理．

3、展学（交流展示）环节：交流展示是课堂的重要环节，学生课前自主学习的成果以及课中合作探究成果需要展示交流,教师的想法和做法也需要展示交流,让师生的奇思妙想有舞台展演,实现相互学习,共同提高。

请两个小组来交流展示，学生在解题时，往往对答案很在意，也很在行．例如在问题“集合5×4Sa1,a2,,an的二元子集有多少个？”的解决中，学生极快地报出了答案“2n”，但在叙述他的解题过程时，却说不太清楚．当然，他一定觉得用“数”数的方法可以解决，但难以表述．这种“两难”处境需要教师的协助来化解，在教师的鼓励下，他用“数”数的方法完成了问题，并对计数的对象——二元集进行了分类，利用分类加法计数原理重新阐述了做法，得到了师生的共同认可．教师再提出“你还能用另外的方法证明上述结论吗？”

4、评学（精讲精评）环节：教师的精讲精评穿插在学生的学习动中,对学生弄不懂的的知识、错误的结论以及学生好的意见和做法及时给予简明扼要的讲解和评述,充分体现教师的主导作用。

（1）、点评：指出两个探索方向的异同，探索方向1：“从子集S1中元素个数的角度考虑”Sa1,a2,,an的子集有多少个，这里使用分类加法计数原理来求子集的个数，从而导出二项式定理中，二项式系数和的计算。探索方向2：能否“从元素ai是否出现在子集S1中的角度考虑”Sa1,a2,,an的子集有多

少个。对于元素ai来说，它与各个子集的关系只有两种：ai属于子集S1或ai不属于子集S1，我们可以通过每一个元素是否属于子集S1得到一个子集，从而数出子集的个数。这里使用分步乘法计数原理来求子集的个数。

教师不在学生面对问题时问“到底是‘分类’、还是‘分步’？”，而应当引导学生构建方法，根据方法的特征来选择所适用的原理。

（2）、在这里提出对空集、原集合自身作为子集的规定的进一步思考。

5、检学（达标检测）环节：

（1）、让学生完成关于子集个数的小练习。

（2）、要求学生对探求子集个数的过程进行小结，同时也结合本章知识结构框架回顾思考本章所学内容在探索集合子集个数这一过程中的体现。