复习参考题课堂实录【3】

《排列与组合复习课》教案

义乌市上溪中学

贾若超

【教学目标】

一、知识与技能：

1.能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题； 2.进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能； 3.熟练应用排列组合问题常见解题方法； 4.进一步增强分析、解决排列、组合应用问题的能力。

二、过程与方法：

认清题目的本质，排除非数学因素的干扰，抓住问题的主要矛盾，注重不同题目之间解题方法的联系，化解矛盾，并要注重解题方法的归纳与总结，提高分析、解决问题的能力。

三、情感态度与价值观：

学会用联系的观点看问题，认识事物在一定条件下的相互转化，学会抓住问题的本质。

【教学重难点】

教学重点：排列数与组合数公式的应用

教学难点：排列组合问题解题方法的分析

【教学过程】

一、知识点回顾

1.两个计数原理：

（1）分类加法计数原理：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有

N



m

1



m

2



n

种方法。

m

（2）分步乘法计数原理: 完成一件事情，需要分成n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法……第n步有mn种不同的方法，

那么完成这件事共有

N



m

1



m

2





m

n

种方法。

【通过对两个计数原理的复习，强调在排列组合类问题解决过程当中分类分步思想的重要性】

1

2.排列与组合

（1）排列：从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

（2）排列数：从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。

m （3）排列数公式：

公式一：Ann(n1)(n2)(nm1)

n

公式二：

A

n



特别地：Ann!

mn!(nm)!

（4）组合：从n个不同元素中取出m个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

（5）组合数：从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数。

mAn (n1) (n2)mnC

（6）组合数公式：

公式一：nmAmm!n!m

公式二：

C

n



m!(nm)!(nm1)

C

（7）组合数性质：

C

n

；

n

别排列与组合问题的关键】

二、应用：

mnmmmm1CnCC1nn【复习回顾排列组合的概念，辨别两个概念的相同之处与不同之处，强调元素是否有序为辨1.用0，1，2，3，4, 5这六个数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数共有多少个？

【变式1.1】其中偶数共有多少个？

【变式1.2】其中大于1030的数共有多少个？

【特殊元素优先法：培养学生在遇到含有特殊元素或特殊位置问题时的思考方式，利于之后解决类似题1及多面手等排列组合问题。并培养学生直接法、间接法等多种方式解决问题的数学思维。】

2.七名同学排成一排，

（1）共有多少种不同的排法？

（2）甲乙两人必须相邻，共有多少种不同的排法？

2

【变式2.1】甲乙丙三人必须相邻，共有多少种不同的排法？

【变式2.2】甲乙两人必须相隔一人，共有多少种不同的排法？

【捆绑法：帮助学生形成在遇到含有元素相邻条件的问题时，将相邻元素“捆绑”视作一个整体元素的思考方式】

（3）其中有4名男生3名女生，女生不能相邻，共有多少种不同的排法？

【变式2.3】七名同学排成一排，排好后又来了两名同学，现将这两名同学插入队伍中，共有多少种不同的排法？

【插空法：帮助学生形成在遇到含有元素不相邻条件的问题时，将其余无条件限制的元素排列后将不相邻元素插入的思考方式】

3.七名同学排成两排，第一排3人，第二排4人，则有多少种不同的排法？

【变式3】七名同学排成两排，第一排3人，第二排4人，甲乙在前排，丙在后排，则有多少种不同的排法？

【多排问题单排法：帮助学生形成在遇到多排问题时，借由多排问题和单排问题本质上的相同而进行互相转换。变式在多排转单排的基础上，加上特殊元素，提高学生综合解题能力】

4.有6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同分法？

（1）分成三份，每份两本；

（2）分成三份，一份三本，一份两本，一份一本；

（3）分成三份，一份四本，其余两份各一本。

【变式4.1】分给三人，每人两本；

【变式4.2】分给三人，一人三本，一人两本，一人一本；

【变式4.3】分给三人，一人四本，其余两人各人一本。

3

【平均分组的无序性：（易错点）帮助学生形成在遇到平均分组问题时，注意分组后组别之间的无序性。排列组合混合问题时，先分组，后分配

的思考方式。】

5.有6本相同的书，按下列条件，各有多少种不同分法？

（1）分给甲乙丙三人，每人至少一本；

（2）分给甲乙丙丁四人，每人至少一本；

【变式5】已知方程x+y+z+w=100,满足方程的正整数解有几组？

【隔板法:帮助学生形成在遇到相同元素的分配问题时采用隔板法处理的思想。】

三、思考

楼梯一共有10级台阶，上楼可以一步一级，也可以一步两级，若要求8步走完这楼梯，则不同的走法有多少种？

【通过思考题，进一步提高学生将实际问题转换为排列组合问题后加以解决的能力】

四、小结

五、板书设计

排列与组合

复习课

一、知识框架

习题板演

二、方法归纳

4