小结课件配套优秀获奖教案

《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计

一、

教学内容解析

本节课的内容是独立性检验的基本思想及实施步骤。在统计学中，独立性体验就是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法。在本课之前，学生已经学习过事件的相互独立性、正态分布、回归分析的基本思想及初步应用。本节课利用独立性检验，进一步分析两个分类变量之间是否有关系，是高中数学知识中体现统计思想的重要课节。

本节课的重点要放在独立性检验的统计学原理上，引导学生通过典型案例，初步了解假设检验思想，掌握独立性检验的基本步骤，并能分析两个分类变量之间是否有关系，进一步让学生体会统计方法在决策中的作用，因为随着信息技术的高速发展，大数据时代的到来，对数据的处理会更注重结论的相关性和实时性，使之更好的服务于社会。

独立性检验是以统计知识为主体，

概率知识为辅助的方法来解决实际问题，重点考查学生的数据处理能力和统计推断能力。

独立性检验其基本思想及检验方法在统计学中占有重要的一席之地。

二、

教学目标设置

1.

知识与技能

通过生活中典型案例的探究，了解独立检验的思想和初步应用，掌握独立性检验的基本步骤，会对两个分类变量进行独立性检验，并能用独立性检验的基本思想来解决实际问题。

2.

过程与方法

通过探究“吸烟与患肺癌是否有关系”引出独立性检验问题，借助于样本数据的列联表、等高条形图的展示，引导学生认识它们2的基本作用和不足，导出独立性检验的作用及必要性，进而介绍K2的计算公式和K的观测值K的求法，以及它们的实际意义，从而得

出独立性检验的一般步骤，并能科学的给出这个判断的可靠度的具体做法和可信程度的大小，最后介绍独立性检验思想的综合应用。

3.

情感、态度和价值观

在教学中，通过设置问题，引导学生借助于统计原理，自主发现、独立探究、合作交流、归纳展示，使学生感受发现、探索、合作的乐趣及成功展示的成就感，培养学生全面的观点和辩证分析问题的能力。

通过本节课的学习，能利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，能科学地给出这种判断地可靠程度，以帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测。

三、

学生学情分析

本节课之前，学生已经学习过事件的相互独立性、正态分布、回归分析的基本思想及初步应用等知识。学生已经具备一定的认知、分析、归纳能力，能够进行小组活动。

2本节的教学难点是独立性检验的基本思想、随机变量K的含义。

独立性检验是一个贴近生活的数学范畴，它可以解决两类扑朔迷离事情之间到底有关还是无关的问题，学生其实是很感兴趣的，但因学生接触的统计内容不多，也没有掌握一些常用分布的概念，因而在学习这部分内容时颇感困难，所以我尽量用形象、直观、简洁的语言解释独立性检验的基本思想。独立性检验的思想来自于统计上的假设检验的思想，它与反证法类似，都是先假设结论不成立，反证法是在假设结论不成立的前提下，推出一种不符合逻辑事情的发生，从而证得结论成立；而独立性检验是在假设结论不成立的前提下，推出一种不符合逻辑的小概率事情的发生。我们知道小概率事件在一次实验中，通常是不会发生的，若发生了，则说明假设的条件有问题，即应该认为结论成立。

2随机变量K是为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准构造出来的，课本又凭空给出了一个卡方临界值表，这对于学生理

解起来也有一定难度。为了突破这个难点，我运用案例分析让学生直观感觉到，在吸烟与患肺癌没有关系的假设下，K2应该很小，若由观测数据计算得到的K2很大，则说明假设不合理，原结论成立。那么到底多大是大呢？为了给这个数据一个定量说明，由此引出一个卡方临界值表，并用概率的知识解读临界值表的含义，然后在应用过程中进一步理解，这样学生接受起来就容易些。

四、教学策略分析

让学生自己通过对卡方临界值概率的理解，亲身去体会是接受H0还是拒绝H0，实现教学重点，即理解独立性检验的基本思想。

本环节设计为由学生先进行小组讨论，有些学生不会利用所学知识来分析问题，通过小组讨论，用集体的力量来进行知识的学习，能增强学生对独立性检验的了解，并体会到合作的有效作用。

五、教学媒体支持

利用希沃白板，交互展示相关图片，激发学生学习兴趣；利用Excel制作电子表格及等高条形图，促进学生领悟统计与概率知识；利用Powerpoint制作课件，系统讲解相关知识。

六、教学过程设计

（一）

创设问题情境

问题1、你认为吸烟有害健康吗？

[设计意图说明] 好的课堂情景引入，能激发学生的求知欲，是新问题能够顺利解决的前提之一，同时还能向学生传递吸烟的危害，让他们知道吸烟将严重影响健康，并能自觉抵制吸烟。

（二）基础知识储备

对于性别变量，其取值为男和女两种：

这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量。生活中有很多这样的分类变量如：是否吸烟、宗教信仰、国籍等。

[设计意图说明]

利用图像向学生展示变量的不同取值，更加形象的表示分类变量的概念。

（三）探究归纳，解决问题

5月31日是世界无烟日。有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺疾病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出来的呢？我们来看下一个案例。

为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了

9965人，得到如下结果：

表3—7

吸烟与患肺癌列联表

单位：人

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

7775 2099 9874 患肺癌

42 49 91 总计

7817 2148 9965 像这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表。一般我们只研究两个分类变量的列联表，且每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为22列联表。

问题2、吸烟与患肺癌有关系吗？你是怎样得到你的结论的？ 引导学生利用概率知识探究：由以上列联表可以粗略估计：在不吸烟样本中，患肺癌的比例为0.54%；在吸烟样本中，患肺癌的比例为2.28%

因此，直观上可以得到结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异。

引导性探究：还有其它方法来判断吸烟和患肺癌有关吗？

等高条形图

1

比较图中两个深色条的高可以发现，在吸烟样本中患肺癌的频率要高一些，因此直观上可以认为吸烟更容易引发肺癌。

[设计意图说明]

数学教学只有从问题开始才有其生命力，创设一个实际问题情境，既回顾了上节课的内容，又提出本节课研究的问题。

同时使学生体会数学的应用价值，感受学习数学新知识的必要性．从具体的事例出发引入概念，有利于帮助学生对概念的理解。

问题3、你有多大把握判断吸烟与患肺癌是有关的？用什么方法进行检验呢？

引导性语言：有多大把握判断“两个分类变量有关系”，这是个概率问题。要研究两个分类变量有关系可以先研究其没有关系，即研究其相互独立时的概率关系，在用频率代替概率后，先假设H0:吸烟与患肺癌没有关系。上述列联表中的数字用字母代替，可得如下列联表：

表3—8 吸烟与患肺癌列联表 单位：人

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

患肺癌

总计

a

c

ac

b

d

bd

ab

cd

abcd

引导性探究：在假设H 0成立的条件下，能推导出a,b,c,d有怎样的关系？

用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于：P(AB)P(A)P(B)

则有

P(AB)aabac,P(B)，P(A)，其中nabcd为样本容量

nnnaabac

nnn所以在H0成立的条件下应该有： 即 (abcd)a(ab)(ac)

即 adbc

[设计意图说明] 要研究两个分类变量有关系是不容易解决的问题，本着“正难则反”的思想方法，借助反证法的思考模式，将问题转化为两个分类变量独立，利用事件独立的概率相关知识，用频率代替概率，利用列联表由学生自己动手推导出，在H0成立的条件下有adbc

，进而引出随机变量K2公式中的部分结构

。

引导性探究：adbc的大小能说明什么？

adbc越小，就越独立，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；adbc越大，就越不独立，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。

引导性语言：为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上面的分

析，我们构造一个随机变量

n(adbc)2 K (1) (ab)(cd)(ac)(bd)2其中nabcd为样本容量。

引导性探究：K的大小能说明什么？

2若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K应该很小。若2由观测数据计算得到的很大，则说明假设不合理，原结论成立，即“吸烟与患肺癌有关系”。

2根据表3—7中的数据，利用公式（1）计算得到K的观测值为

9965(777549422099)2k56.632 78172148987491引导性探究：k56.632这个值到底是大还是小呢？

2统计学家通过对K统计量分布和大量的实验数据的研究，得到了如下的卡方临界值表：

表3-11

临界值表

P(K2k0)

0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.897 10.828 引导性语言：以

为例，P(K26.635)0.01就是说在H0成立的条件下，计算出随机变量K2的观测值大于等于6.635的概率非常小，不超过0.01，是一个小概率事件，现在K2的观测值k56.632，远大于6.635，所以有理由断定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”。但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99%以上的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。

[设计意图说明]

本环节我没有按照教材呈现的顺序，而是利用引导性探究，很自然的将卡方临界值表呈现给学生，这样改变后学生先对随机变量K2有所了解，接下来对理解后面独立性检验就容易些。

统计学语言表述：在上述过程中，实际上是借助于随机变量K2的观测值k建立了一个判断H0是否成立的规则：如果k6. 635，就判断H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”；否则，就判断H0成立，即认为“吸烟与患肺癌没有关系”。在该规则下，把结论“H0成立”错判成“H0不成立”的概率不会超过P(K26.635)0.01, 这里概率计算的前提是H0成立。

探究归纳展示：怎样判断K2的观测值k是大还是小呢？这仅需确定一个正数k0，当kk0时就认为K2的观测值k大。此时相应于k0的判断规则为：如果kk0，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”。我们称这样的k0为一个判断规则的临界值。按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过P(K2k0)。

[设计意图说明] 随机变量K2的理解是本节课的难点之一，利用概率知识解读卡方临界值表中数据的含义，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，学生不仅能够直观感受，更是直接参与讨论和总结，有助于学生理解独立性检验的基本思想，突破本节课难点，培养学生的分析、探究、归纳能力以及小组协作的意识。

（四）形成概念，重点精讲

上面这种利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法，称为独立性检验。

引导性探究：独立性检验的思想来自于统计上的假设检验的思想，它与反证法类似，都是先假设结论不成立，反证法是在假设结论不成立的前提下，推出一种不符合逻辑事情的发生，从而证得结论成立；而独立性检验是在假设结论不成立的前提下，推出一种不

符合逻辑的小概率事情的发生。我们知道小概率事件在一次实验中，通常是不会发生的，若发生了，则说明假设的条件有问题，即应该认为结论成立。

“独立性检验”的基本步骤为：

第一步：列联表，提出假设H0：事件Ⅰ和事件Ⅱ没有关系

第二步：根据列联表的数据，利用公式计算随机变量K2的观测值k；

第三步：比较k与k0的大小来判断假设是否成立，并作出判断。

注意细节：k是K2的观测值，意思是K2是一个随机变量，它在a,b,c,d取不同值后，可能不同，而k是取定一组a,b,c,d后的一个确定值。

[设计意图说明] 独立性检验也是本节课的难点之一，我把重点放在了独立性检验的统计学原理上，用通俗的语言让学生体会独立性检验的基本思想，并掌握应用独立性检验解决问题的步骤。

（五）巩固知识、训练技能

例1、为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取500名学生，得到如下列联表：

单位：人

男

女

总计

喜欢数学课程

104 95 199 不喜欢数学课程

128 173 301 总计

232 268 500 能够有95％的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？

解：方法一、令a=104,b=128,c=95,d=173则

ac104950.0937abcd10412895175

ac这个值很小， 与 近似相等，因此可以直观的判断“性别与喜欢abcd数学课之间有关系”。

方法二、根据列联表中的数据，得到

500(10417312895)24.56633.841

k

232268199301所以，能够有95％的把握认为性别与喜欢数学课之间有关系。

也就是在犯错误的概率不超过5％的前提下认为性别与喜欢数学课之间有关系。

例2、在导例吸烟与患肺癌这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是

（

C ）

A.若K26.635,则有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，那么100名吸烟者中，有99个患肺癌。

B.从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关时,可以说某人吸烟,那么他有99%的可能性患肺癌。

C.若从统计数据中求出有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指有1%的可能性使推断出现错误。

D.以上三种说法都不对。

[设计意图说明] 用例题进一步说明直观判断不足之处在于不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误概率，而独立性检验则可以弥补这个不足。通过小题训练，让学生深化对该统计思想的理解，培养批评性思维习惯。

（六）

成果展示，巩固提升

引导性语言：课前各小组都收集了你们感兴趣的分类变量的相关数据，利用本节课我们所学的独立性检验进行判断，看各自有多大的把握认为它们有关系？

学生活动：小组内进行检验，而后每小组由一名学生进行研究成果展示，巩固提升

【设计意图】各小组将各自收集的分类变量数据进行独立性检验，并将检验结果展示给全体同学，加深本组及其它各组学生对独立性检验思想的理解，体验数学在实际生活中的应用。同时用学生收集的分类变量数据做练习，更能提高学生的参与兴趣。

（七）课后作业，自主学习

必做题：课本P97

习题3.2

第1题

选做题：课本P101

复习参考题A组

第3题

[设计意图说明]

巩固本节课基础知识，加深知识的应用。作业分为必做题和选做题，满足不同层次学生的需求。