2.2.1 综合法和分析法教学目标

一、

教学内容分析

本节课是数学思维训练专题课，专门训练学生利用分析法和综合法解题。分析法在数学中特指从结果（结论）出发追溯其产生原因的思维方法，即执果索因法。综合思维方法：综合是以已知性质和分析为基础的，从已知出发逐步推求位未知的思考方法，即执果导因法。这两种数学思维方法是数学思维方法中最基础也是最重要的方法，是学生的思维训练的重要内容。

二、

教学目标

知识与技能1.

体会数学思维中的分析法和综合法；

2.

会用分析法和综合法去解决问题。

过程与方法1.

通过对分析法综合法的学习，培养学生的数学思维能力；2.

培养学生的数学阅读和理解能力；3.

培养学生的评价和反、思能力。

情感态度与价值观1．

交流、分享运用数学思维解决问题的喜悦; 2．

提高学生学习数学的兴趣；3．

增强学习数学的信心。

三、学生情况分析、

本节课内容主要是面向高二下学期的学生，主要是进行思维的训练。学生在高一的时候已经学过这些数学思维方法，但是对这些知识还没有进行概念化的归纳和专门的训练。学生不知道分析法和综合法的时候还是会用一点，以以往的经验，学生一旦学习概念后，反而觉得难度大，概念混淆，因此，这一教学内容的设计是针对学生的这一情况，

四、教学设计与过程

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：

一、复习准备：

1. 已知

“若a1,a2R，且a1a21，则114”，试请此结论推广猜想. a1a2111....

n2）

a1a2an（答案：若a1,a2.......anR，且a1a2....an1，则2. 已知a,b,cR，abc1，求证：9. 先完成证明

→

讨论：证明过程有什么特点？

二、讲授新课：

1a1b1c

1. 教学例题：

①

出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2

+ b2) > 6abc.

分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）

→

板演证明过程（注意等号的处理）

→

讨论：证明形式的特点

②

提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.

框图表示：

要点：顺推证法；由因导果. bcaacbabc3. abc③

练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证④

出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.

分析：从哪些已知，可以得到什么结论？

如何转化三角形中边角关系？

→

板演证明过程

→

讨论：证明过程的特点.

→

小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）

2. 练习：

①

A,B为锐角，且tanAtanB3tanAtanB3，求证：AB60. （提示：算tan(AB)）

②

已知abc,

求证：114.

abbcac3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q1,Q2,，直到最后的结论是Q.

运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习：

1. 求证：对于任意角θ，cos4sin4cos2.

（教材P52 练习

1题）

（两人板演

→

订正

→

小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）

2. ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：3. 作业：教材P54

A组

1题.

第二课时

2.2.1

综合法和分析法（二）

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和113. abbcabc

综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：基本不等式的形式？

2. 讨论：如何证明基本不等式abab(a0,b0). 2

（讨论

→

板演

→

分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

二、讲授新课：

1. 教学例题：

①

出示例1：求证3526.

讨论：能用综合法证明吗？

→

如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？

→

板演证明过程

（注意格式）

→

再讨论：能用综合法证明吗？

→

比较：两种证法

②

提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

框图表示：2

要点：逆推证法；执果索因. 1223133③

练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：(xy)(xy).

先讨论方法

→

分别运用分析法、综合法证明. ④

出示例4：见教材P48.

讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）

⑤

出示例5：见教材P49.

讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）

2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大. ll，截面积为()2，22llll周长为l的正方形边长为，截面积为()2，问题只需证：()2> ()2. 4424

提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为3. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.

（框图示意）

三、巩固练习：

1.

设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：c2a2b24ab43S. 略证：正弦、余弦定理代入得：2abcosC4ab23absinC，

即证：2cosC23sinC，即：3sinCcosC2，即证：sin(C)1（成6立）. 2. 作业：教材P52

练习

2、3题.