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关键词：探究与发现组合数的两个性质优质课教案设计

正文

组合数的两个性质的探究

教学目的：

•

使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑思维能力；

•

使学生能利用组合数的性质进行计算，培养学生的计算能力。

教学过程：

•

复习提问：

•

组合数公式的两种形式是什么：

•

利用组合数的公式的第二种形式计算，根据学生的回答，教师板书如下：

•

组合数公式：

} (n,m∈N,且m≤N) 二、新课讲授：

•

通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它的应用。

•

利用组合数的公式，考察：

与，与，与

的关系，并能发现什么规律？（可以逐个叫学生回答，板书）

∵，

又∴=；

，

∵

又∴；

∵

又

∴=。

由不完全归纳可得：从n个不同的元素中取出m 个元素的组合数，等于从n个不同的元素中取出n-m个元素的组合数。即

定理1：=，(n,m∈N,且m≤N) (2)定理1的证明。要证明这个等式成立，即证明两个量相等。那么，证明两个量相等有声么方法呢？（指明学生回答）

方法一：“若两个数都等于第三个数，则这两个数相等

”。

我们知道，

，

显然，等于。于是可得下面的证明。

证明：∵又∴，

，

=。

（3）性质1的另一种解释：从n个不同的元素中取出m个元素，并成一组，那么，剩下的n-m个元素也成一组；反之，从n个不同的元素中取出n-m个元素并组成一组，那么剩下的m个元素也成一组。所以，它们的组合是一一对应的，故有从n个不同的元素中取出m个的组合数是等于从

n个不同的元素中取出n-m个元素的组合数，即=。

时，利用这个公式，可是的计算简化。如：

（4）当，

。

（5）

注意：当m=n时，公式，

=变形为

又=1，所以规定：=1即 0！=1 （6）在这样的一组组合数：

，，……，，

中，性质1还说明了：与两端等距离的两个组合数相等。如：

=•

，=，=，……。

•

用计算的方法验证下列各式成立，并加以证明。

（1）用计算的方法考察组合数：

与，与

的关系，你能由此发现什么规律吗？（可指明学生回答，板书）

∵

∴=

∵

∴=

规律：若n、,m是自然数，m≤n，则

，（或

）

定理2 •

(n,m∈N,且m≤N) 定理2的证明。要证明这个等式，只要根据组合数的公式变形即可。

证明：∵

∴

，

，….，这n+1个不同的元素中，一类不含。含，不含的的（3）对于定理2，还可以这样解释：从取出m个元素的组合数组合是从组合是从得：

，….，，….，，这些组合可以分成两类：一类含这n个不同的元素中取出m-1个元素的组合数为这n个不同的元素中取出m个元素的组合数为。再由加法原理，。

（3）定理2还说明了，把从n+1个不同的元素中取出m个元素的组合数，等于从n个不同的元素中取出m个元素的组合数组合数•

与从n个不同的元素中取出m-1个元素的的和。这体现了组合数的可分解性，或组合数的可加性。

课堂练习：

•

计算求与；

；

利用定理2证明：

证明：

……

又证：将原式左边的各项写成：

，，，

……

，将上述的等式两边相加，得：

，

四、作业:认真阅读课文,重点掌握组合数的两个性质的证明和利用性质计算组合数的方法,并做下列练习: 1.求

2. 证明: 3.书上

资料摘要

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