二 一般形式的柯西不等式优质课教案

课题：柯西不等式

班级：高三7班

授课人：许碧玉

知识与技能目标：

①通过柯西不等式的证明，渗透函数思想；

②学生通过对二维柯西不等式的再认识，理解二维柯西不等式与中学数学有关内容的联系。

过程与方法目标：

①多种方法证明柯西不等式及等号成立条件；

②拓展学生的思维。

情感态度价值观：

①让学生了解柯西的主要贡献,贯穿数学史教育；

②加深学生对初、高等数学的有机联系。

教学重难点：柯西不等式的证明过程。

教学手段：计算机辅助教学

教学方法：问题教学法

教学过程：

一、由两个简单实例引出的猜想

1、两个简单实例

（1）设a,b,c,dR，有(a2b2)(c2d2)(acbd)2；

（2）设a1，a2，a3R*，有

(a1a2a3)(2221a121a221a32)9。

结构特征：两组数“乘积和的平方不大于平方和的乘积”。

2、猜想

1

给定两组实数：

，

，

是否有(aibi)(ai)(bi2)（*）成立呢？

22i1i1i1nnn3、猜想的证明

分析：从（*）结构上分析，若两边同乘以4，有

(2aibi)4ai2i1i1nn2bi1n2i0，

类似于一元二次函数的判别式b24ac，故可构造一元二次函数来证明。

证明：f(x)(ai)x(2aibi)xbi

222i1i1i1nnn（1）若ai全为0，则结论显然成立；

（2）若ai不全为0，则ai0，f(x)为首项系数大于2i1n0的一元二次函数，并且f(x)(aixbi)20，故f(x)的i1n判别式

(2aibi)4ai2i1i1n2n2n2nn2bi1n2i0，即

(aibi)(ai)(bi)

i1i1i1显然，当且仅当

时等号成立。

二、柯西不等式

1、定理（柯西不等式）

2

给定两组实数

有(aibi)(ai)(bi2)，（*）

22i1i1i1nnn等号当且仅当

时成立。

2、柯西主要贡献简介

柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家。他奠定了数学分析的理论基础。很多定理都冠有柯西的名字，如以前学过的柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程。

3、定理另证

分析2：注意到ai2是n维向量

模

的平方；

i12

的平方；

模 bi是n维向量 i1nn而(aibi)2恰好是向量

与

内积的平方，因此可以借助i1n于我们在空间解析几何的向量内积的知识加以解决。

另证：构造n维向量

n维向量

则

；

；

即

3

(aibi)(ai)(bi)

222i1i1i1nnn显然，当

，即

与

共线时，

亦即等号当且仅当aikbi(i1，2，，n)时成立。

三、柯西不等式的积分形式

设f(x)与g(x)都在[a,b]可积，

bb则f(x)g(x)dxf2(x)dxg2(x)dx，

aaab2等号当且仅当f(x)tg(x)时成立。

结论：柯西积分不等式是柯西不等式的推广。

四、二维柯西不等式的认识

中学数学主要是在二维平面和三维空间中讨论问题，为了应用柯西不等式解决中学数学中的具体问题。我们有必要对柯西不等式的低维形式——二维柯西不等式进行再认识。

二维柯西不等式

(acbd)2(a2b2)(c2d2)

等号当且仅当adbc时成立。

请大家思考除了将二维柯西不等式看成一元二次函数的判别式和向量的模两种认识以外，是否有其他的认识呢？下面请大家按以前的研究性学习小组进行研究。如果在研究过程中有问题，可以参考我给出的提示语。

提示语：可以根据变形后的结构特征进行联想！

(acbd)2(a2b2)(c2d2)

4

acbda2b2c2d2

acbda2b2c2d2

五、小结

acbdabcd22221

如果一个定理跟很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要。而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系。它的重要性是不容置疑的！

六、作业

将小组对二维柯西不等式的再认识研究结果，递交一篇数学作文。

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