1.不等式的基本性质教学设计实例

3.1不等式的性质

教学目标：

1.理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；

2.会用不等式的性质证明简单的不等式．

教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．

教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式．

教学过程：

一、数运算性质与大小顺序之间的关系

ab0ab；

ab0ab；

ab0ab．

二不等式的性质

定理1：（对称性）如果a>b，那么bb；即 a>bb

证明： 说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向．

定理2：（传递性）如果a>b，b>c，那么a>c．

即 a>b，b>ca>c．

证明：

说明：由定理1，可知定理2还可以表示为：cb,baca．

定理3：（加法保序性）若a>b，则a+c>b+c，即a>ba+c>b+c．

证明： 推论1：（移项法则）不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边．

推论2：（加法法则）a>b，c>da+c>b+d．

证明： 推广：两个或几个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向．

定理4：（乘法保序性）若a>b，c>0，则ac>bc；若a>b，c<0，则ac

a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac

证明：

推论1：（乘法法则）a>b>0，c>d>0ac>bc．

证明： 推广：两个或几个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向．

推论2：（乘方法则）a>b>0anbn(nN,且n>1) 定理5：（开方法则）若ab0,

则nanb(nN,且n1)．

即

ab0nanb.

三、应用举例

例1．已知ab,cd，求证acbd．

例2．已知ab0,c0，求证：

cc．

adacac0，求证0．

bdabcdbdabcdacbd证明：0,．11，0

acacbdacac0．

故 abcda例4．设8a20,12b36，求ab,a2b,的取值范围．

b例3．已知解：由8a2020ab56；

12b3612b36722b24，且8a12，64a2b4．

8a202a5 由111．

9b336b122例5．设f(x)axbx，1f(1)2且2f(1)4．求f(2)的取值范围．

解：f(1)ab,f(1)ab,f(2)4a2b．

设f(2)mf(1)nf(1)，

即4a2bm(ab)n(ab)(mn)a(nm)b．

4mnm1．f(2)f(1)3f(1)．

2nmn3由1f(1)2得，63f(1)12．

5f(2)f(1)3f(1)14．

小结：1．不等式的性质是进行不等式的证明和解不等式的依据．

2．在运用不等式的性质时，一定要严格掌握它们成立的条件．

课时小结

本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：

第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；

第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；

第三步：得出结论

课后作业