三 反证法与放缩法名师教学视频（文字实录）

2.2.2

反证法

课时目标

1.了解间接证明的一种基本方法——反证法.2.了解反证法的思考过程、特点.3.结合已经学过的数学实例，理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证明与间接证明的区别与联系．

1．一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过____________，最后得出________，因此说明假设________，从而证明了原命题________，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．

2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与________________________________________________等矛盾．

一、选择题

1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(

) ①结论相反判断，即假设；

②原命题的条件；

③公理、定理、定义等；

④原结论．

A．①②

B．①②④

C．①②③

D．②③

2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是(

) ①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．

A．①②

B．①③

C．①③④

D．①②③④

3．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是(

) A．假设a、b、c都是偶数

B．假设a、b、c都不是偶数

C．假设a、b、c至多有一个偶数

D．假设a、b、c至多有两个偶数

4．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是(

) A．有两个内角是直角

B．有三个内角是直角

C．至少有两个内角是直角

D．没有一个内角是直角

5．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时正确的反设为(

) A．a、b、c都是奇数

B．a、b、c都是偶数

C．a、b、c中至少有两个偶数

D．a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数

6．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

题

号

答

案

二、填空题

7．用反证法证明：“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定为________．

8．将“函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)>0”反设，所得命题为“__________________________”．

9．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是______________．

三、解答题

10．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．

1

2

3

4

5

6

πππ11.若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，

236求证：a、b、c中至少有一个大于0.

能力提升

11112．求证：不论x，y取何非零实数，等式＋＝总不成立．

xyx＋y

13．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32. (1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

Sn(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

n

1．对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．

2．反证法的基本步骤是：

(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；

(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；

(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．

答案

知识梳理

1．正确的推理

矛盾

错误

成立

2．已知条件或与假设或与定义、公理、定理、事实

作业设计

1．C

2.D

3.B

4.C 5．D

[恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个

偶数．]

6．B

[∵c>d，∴－c<－d，a>b，

∴a－c与b－d的大小无法比较．

可采用反证法，

当a－c>b－d成立时，假设a≤b，∵－c<－d，

∴a－cb. 综上可知，“a>b”是“a－c>b－d”的必要不充分条件．] 7．a≤b

8．函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上恒小于等于0 9．a≤－2或a≥－1

解析

若方程x2＋(a－1)x＋a2＝0有实根，

1则(a－1)2－4a2≥0，∴－1≤a≤. 3若方程x2＋2ax－2a＝0有实根．

则4a2＋8a≥0，∴a≤－2或a≥0，

∴当两个方程至少有一个实根时，

1－1≤a≤或a≤－2或a≥0. 3即a≤－2或a≥－1. 10．证明

假设a不是偶数，则a为奇数．

设a＝2m＋1(m为整数)，则a2＝4m2＋4m＋1. 因为4(m2＋m)是偶数，所以4m2＋4m＋1为奇数，所以a2为奇数，与已知矛盾，所以假

设错误，

所以原命题成立，即a是偶数．

11．证明

设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，

∴a＋b＋c≤0. πππx2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋

而a＋b＋c＝236＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π

＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，

故a、b、c中至少有一个大于0. 11112．证明

假设存在非零实数x，y使得等式＋＝成立．

xyx＋y于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，

即x2＋y2＋xy＝0，

y3即(x＋)2＋y2＝0. 243由y≠0，得y2>0. 4yy3又(x＋)2≥0，所以(x＋)2＋y2>0. 224与x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命题成立．

13．(1)解

设公差为d，由已知得

a1＝2＋1，

3a1＋3d＝9＋32，

∴d＝2，

故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．

Sn(2)证明

由(1)得bn＝＝n＋2. n2假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则bq＝bpbr，

即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，

∴(q2－pr)＋(2q－p－r)2＝0. ∵p，q，r∈N*，

2q－pr＝0，∴

2q－p－r＝0，

∴p＋r2＝pr，(p－r)2＝0，

2∴p＝r，这与p≠r矛盾．

所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．