3.三个正数的算术-几何平均不等式优秀教学设计

1.3 三个正数的算术-几何平均不等式

教案

（新人教选修4-5）

教学目标：

1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题；

2．了解基本不等式的推广形式。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式

教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题

教学过程：

一、引入：

1、定理1：如果a,bR，那么a2b22ab（当且仅当ab时取“=”）

证明：a2b22ab(ab)2

当ab时，(ab)2022ab2ab

2当ab时，(ab)01．指出定理适用范围：a,bR强调取“=”的条件ab。

2、定理2：如果a,b是正数，那么abab（当且仅当ab时取2“=”）

证明：∵(a)2(b)22ab

∴ab2ab

即：当且仅当ab时

abab

2abab

2

注意：1．这个定理适用的范围：aR；

2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

已知正数x、y满足2x+y=1，求12xy22xy解：xy122即122xy11的最小值xy错因：过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。111222242xyxy11的最小值为42即xy

语言表述

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考：基本不等式给出了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成

立呢？

3、定理：如果a,b,cR，那么a3b3c33abc（当且仅当abc时取“=”）

证明：∵a3b3c33abc(ab)3c33a2b3ab23abc

(abc)[(ab)2(ab)cc2]3ab(abc)

(abc)[a22abb2acbcc23ab]

(abc)(a2b2c2abbcca)

1(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2]

2∵a,b,cR

∴上式≥0

从而a3b3c33abc

指出：这里a,b,cR

∵abc0就不能保证。

推论：如果a,b,cR，那么取“=”）

证明：(3a)3(3b)3(3c)333a3b3c

abc33abc

abc3abc。（当且仅当abc时3



abc3abc

3

二、典型例题：

例1、已知x，y，zR+，求证：3（x+y+z）27xyz。xyz3证明：因为xyz，所以3xyzxyz2733即（x+y+z）27xyz

2(1)当0x1时,求函数yx(1x)的最大值.例２:解:0x1,1x0,xxyx(1x)4(1x)22xx1x43224()3272构造三个数相加等于定值.x24当1x,x时,ymax.2327

(2)当0x1时,求函数yx(1x2)的最大值.解:0x1,1x20,由yx(1x2),得222212x1x1x34()2327342222当2x1x,x时,ymax,ymax3.3279

yx(1x)12x2(1x2)(1x2)2222构造三个数相加等于定值.

三

小结

１、应用均值不等式须注意以下三点：

（１）各项或各因式为正

（２）和或积为定值

（３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形，

以满足上述前提，即“一正二定三相等”

２、三元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将

“积式”转化为“和式”的放缩功能；设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；

3、均值不等式在实际生活中应用时，也应注意取值范围和能取到等号的前提条件。

四、练习：

五、作业