探究与发现 组合数的两个性质优秀教学设计

探究与发现：组合数的两个性质

单位：临淮中学

授课人：冯付礼

教学目标：

知识与技能：掌握组合数的两个性质，以及组合的综合应用；

过程与方法：进一步熟悉组合数的计算公式，能够运用组合数的两个性质解决一些简单的应用问题；

情感、态度与价值观：通过本节课共同探究组合数的两个性质，培养发现问题的能力，进一步培养同学们的学习信心。

教学重难点：

重点：组合数的两个性质

难点：组合数性质应用

一、复习引入

复习组合、组合数及其公式

二．讲授新课：

1.探究1：组合数的

性质1：（1）已知集合

CnCnmnm．

Aa,b,c,d,73，请写出集合A

的子集。

C12与C1248（2）计算：①

；

②

；③

请同学们思考：他们之间有什么特点，可能满足什么样的关系式？

引导学生猜想，发现：CnCnmnmC10与C10C18与C18315

理解：

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n  m个元素．因

为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n  m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n  m个元素的组合数，即：mnmCnCnmnm．

在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．

2、性质1：CnCnCn

n!n!m!(nm)!nm证明：∵Cnm(nm)![n(nm)]!

n!m!(nm)!

又

∴0CnCnmnm

注：1

我们规定

Cn1

2

等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．

3

此性质作用：当mn2时，计算Cnm可变为计算Cnnm，能够使运算简化．

例如：4

xC2002y2001＝C200220022001＝C20021=2002．

CnCnxy或xyn3、探究2：

一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

⑴

从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

⑵

从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

⑶

从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解：⑴

C8563

⑵

C721322

⑶

3C7353

引导学生发现：C8C7C7．为什么呢？

我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．

理解：一般地，从a1,a2,,an1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cmn1，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从a2,a3,,an1这n个元素中取出m 1个元素与a1组成的，共有Cnm1个；不含有a1的个．根据分类计组合是从a2,a3,,an1这n个元素中取出m个元素组成的，共有Cnm数原理，可以得到组合数的另一个性质．

在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

4、

性质2：

证明：

mCmn1＝Cnm+Cnm1．

n!(m1)![n(m1)]!CnCnm1n!m!(nm)!

n!(nm1)n!mm!(nm1)!(nm1m)n!m!(nm1)!(n1)!m!(nm1)!m





∴

Cmn1

Cn1m

．

＝Cn+Cnm1

注：1

公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．

2

此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．

三、典例剖析

例1 已知

注：方程C183x6C184x2，求x的值

Cnf(x)Cn3g(x)等价于

33f(x)g(x)或f(x)g(x)n3

例2 （1）计算：（2）计算：四、随堂练习

1、满足方程2、22C4C5C6...C102222

求：n

C3C4C5...Cn363,C162xx2C1625x5的x的值为------------- C2C3C4...C10的值为----------- 五、课堂小结

教师让学生回顾总结本节课的学习内容

（1）组合数的两个性质：CnCnmnm，Cn1CnCnmmm1

f(x)g(x)或f(x)g(x)n（2）方程等价于

六、布置作业

课本第27页习题1.2第11题，第17题。

Cnf(x)Cng(x)