探究与发现 组合数的两个性质优质课教案设计

组合数的两个性质

一、教学目标：

①熟练掌握组合数的计算公式；

②掌握组合数的两个性质，

③并且能够运用它解决一些简单的应用问题。

二、教学重点：

组合数的两个性质的理解和应用。

三、教学难点：

利用组合数性质进行一些证明。

四、教学方法：

启发式教学、探究发现法。

五、教学过程：

（一）复习回顾：

1.复习排列的定义；

2.复习组合数的两种计算方法。

（二）新授内容：

1.出示例1，引导学生分析过程从而得出一一对应的关系，并从组合数的定义的角度得

出两组合数相等的结论。

出示例2，通过组合数公式也就是计算的方法得到两组合数相等的结论。

通过前面两个例子，引导学生思考这是偶然还是必然，从而引出性质1，并加以证明。

mnm2.组合数的

性质1：C

nCn．

理解：

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n



m个元素．因

为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n



m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个．．．．mnm元素中取出n



m个元素的组合数，即：Cn．在这里，我们主要体现：“取Cn法”与“剩法”是“一一对应”的思想．

nm证明：∵Cnn!n!

(nm)![n(nm)]!m!(nm)!mnmn!

∴CnCn

m!(nm)!m

又

Cn注：1、此性质作用：当mnmnm时，计算Cn可变为计算Cn，能够使运算简化

20n02、CnCn1，于是规定Cn1,即0!1

3、等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．

3.出示例3：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

⑴

从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

⑵

从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

⑶

从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

323解：⑴

C856

⑵

C721

⑶

C735

323

引导学生发现：C8．为什么呢？

C7C7

我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．

出示例4，通过组合数公式也就是计算的方法得到两组合数相等的结论。

引导学生发现规律，出示性质2. mmm1

n4．组合数的

性质2：C＝+．

CC1nnm

证明1：一般地，从a1,a2,,an1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn1，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从a2,a3,,an1m1这n个元素中取出m 1个元素与a1组成的，共有Cn个；不含有a1的组合是从m个．根据分类计数原理，可以得a2,a3,,an1这n个元素中取出m个元素组成的，共有Cn到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想。

n!n!mm1证明2：

Cn

Cnm!(nm)!(m1)![n(m1)]!

n!(nm1)n!m

m!(nm1)!

(nm1m)n!

m!(nm1)!

(n1)!

m!(nm1)!m

Cn1

mmm1

∴

Cn．

1＝Cn+Cn

公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．

5．课堂练习

3456⑴

计算：C7

C7C8C9nnn1n2⑵

求证：Cm2＝Cm+2Cm+Cm

x12x3⑶

解方程：C13

C13

⑷

解方程：Cx2Cx2

5．组合数性质的简单应用：

证明下列等式成立：

x2x313Ax3

10kkkkkk1

⑴

Cn1Cn2Cn3Ck1CkCn

kk1⑵

CkCkk1Ckk2CkknCnk1

三、小结：1．组合数的两个性质；

2．从特殊到一般的归纳思想．

四、

作业：

同步解析：P19-20