复习参考题教案设计（一等奖）

计数原理复习课教学设计

计数原理复习课

（人教 A 版 2003 课标版

高中

数学

选修2-3第一章计数原理——复习参考题）

汕头市第一中学

肖朝欣

一、教材分析 高中数学课程标准定义数学核心素养为：具有数学基本特征思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现. 普通高中课程标准实验教科书（人教社 A 版）选修2-3中的《计数原理》章节，是为后续解决概率、统计问题做铺垫的基本章节.

计数问题是数学中的重要研究对象之一,也是了解客观世界的一种最基本的方法. 面对一个复杂的计数问题时,人们往往通过分类或分步将它分解为若干个简单计数问题,在解决这些简单问题的基础上,将它们整合起来而得到原问题的答案,这也是在日常生活中被经常使用的思想方法. 在本章学习中，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是简化计数工作的有力工具，排列组合的计算更是使得计数过程呈现出更为高效性和富有理论性，二项式定理是作为组合思想的一个重要应用. 通过对复杂计数问题的分解,将综合题化解为单一问题的组合,再对单一问题各个击破,可以达到“以简驭繁，化难为易”的效果. 课本章末的复习参考题为本章的回顾复习提供了指引与素材，是作为对整章书内容非常好的系统归纳与提升的工具，既能帮助学生有效整合知识、提炼思想方法，也能引导学生更好掌握学习方法，感知数学应用之美.

二、学情分析 学生在必修三的学习中，掌握了基本的以列举为主要手段的计数方法，但这毕竟是最初等的计数方法，当数目超出一定的范围时，使用起来就显得并不方便. 课本在本章开篇列举一些典型事例的基础上,用明确的语言指出了两个计数原理与加法、乘法运算之间的这种关系,并提出“不通过一个一个地数而确定这个数”的问题,使学生开始体会学习计数原理的必要性，它们是解决计数问题的理论基础. 在此基础上学生又学习了排列，组合，二项式定理，其实也都是基本计数原理的实际应用. 在具体应用过程中，学生了解到一些常见的例如排序问题，相邻、相间问题等，更大地拓展了计数领域的多样性，使得学生的学习充满了新意，但同时也面临着巨大挑战. 通过本章的学习，学生掌握了一些常见的计数方法，但如何快速准确的找到合理解决问题的办法，不重不漏地把问题“数”明白，这才是学生需要通过总结提炼去掌握的方法与能力，也是本节复习课的目的所在.

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计数原理复习课教学设计

三、教学设计思想 计数原理易学、好懂、能懂、好用,但学生要达到“会用”的境界,需要经过一定量的应用性训练. 作为一节复习课，立足点自然要比新授课要更高，要尽可能在复习课的过程中，引导学生将本章知识做到“学以致用，融会贯通”. 本节课的教学内容全部来源于人教A版选修2-3第一章的复习参考题，通过将参考题目进行重新编排，以本章的两个计数原理、排列组合、二项式定理三部分作为主线，着重培养学生以下三个方面能力. ①

精准快速处理排列组合问题的能力——通过8个不同类型的计数问题，让学生首先学会快速审题，找到题目关键字并做精准判断，结合已学过的不同类型计数问题，准确找好模型进行计算. 分析问题过程中，引导学生通过情景变换加深理解，例如例1（4）问，学生可以联想到以往的其他应用背景，如寄信问题，使得学生对题意的理解更具有代入感；

②

灵活变通处理二项式问题的能力——二项式定理的教学，除了让学生熟练掌握展开式以及通项之外，更为重要的是让学生将组合思想与多项式计算相结合，才能做到灵活变通解决更多的二项式问题. 教学过程中通过将二项式定理的化简，形象地比喻为“打牌游戏”，让学生能更从实际应用出发，更好的理解题意并找到最优的分析方法；

③

追本溯源处理几何问题的能力——教材在复习参考题中设计了几个与几何图形有关的问题，既拓展了问题的多样性，又让学生从另一个侧面去理解几何图形. 本节选题通过对问题的难度与维度进行重组，引导学生“追本溯源”，比如例4提到的“十二边形的对角线的条数”，则通过两点一线的方式来形成，加之对该题的变式，提到“三棱锥”，则可通过不共面4点来形成. 在教学过程中，通过创设师生交流教学情境，从易到难，由浅入深，逐步启发，引导推进，带领学生在各种不同的问题背景下转换变通，促进学生对数学知识的理解和掌握，使学生在学习中体会到成功的喜悦.借助多媒体PowerPoint课件整合教学内容，提高课堂效率，同时营造生动活泼的课堂教学氛围；

在“教”的方面，既有效复习整合章节知识，又提炼升华章节思想方法；在“学”的方面，既能对不同的问题进行深入分析与辨别，选取合理的方法，并加以提炼，达到启发思维的效果.

四、教学目标设计

（一）知识与技能

1.

强化两个计数原理与排列组合计算，分析并解决不同背景的计数问题；

2.

熟练掌握使用二项式定理的通项，并结合组合思想解决更为复杂的二项式问题；

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计数原理复习课教学设计

3.

应用组合思想分析几何相关问题，更深入的理解“类比”思想.

（二）过程与方法

1.

通过对实例的分析和提炼，培养学生观察、分析和解决问题的能力；

2.

引导学生利用类比思想，通过变换背景的理解方式解决问题；

3.

通过师生间的合作交流，提高学生的数学表达和逻辑思维能力.

（三）情感态度与价值观

1.

发挥学生的主体作用，激发学生学习数学的兴趣；

2.

让学生体验数学思维活动的全过程，鼓励学生在学习中勤于思考，积极探索；

3.

合理利用计数原理处理现实问题或者其他数学问题，培养学生的数学应用意识.

五、教学重点与难点

（一）教学重点：掌握及应用两个计数原理，排列组合和二项式定理

（二）教学难点

1.

如何快速地根据不同的应用背景选择合适的计数方法；

2.

应用组合思想处理形式多变的二项式问题.

六、教学过程设计

本章知识网络图

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计数原理复习课教学设计

一、精准快速处理排列组合问题

【例1】

(1)

学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，从6种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是 （选自A组1（2））

(2)

安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是 （选自A组1（3））

(3)

5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是

（选自A组1（4））

(4)

5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听取其中的1个讲座，不同选择的种数是 （选自A组1（5））

(5)

书架上有4本不同的数学书,5本不同的物理书,3本不同的化学书,全部排在同一层,如果不使同类的书分开,一共有多少种排法?（选自A组7）

(6)

某学生邀请10位同学中的6位参加一项活动,其中两位同学要么都请,要么都不请,共有多少种邀请方法?（选自A组4）

思路引导：

（1）分步解决，结合组合计算；

（2）“某歌手”作为特殊元素优先考虑，再进行排列；

（3）“无座”球票，引导学生发现无序性，从组合角度解决；

（4）“同时听”和“自由选择”，让学生类比到“信选邮筒”问题，实则为普通分步问题；

（5）“不使同类书分开”即为相邻，可利用捆绑思想；

（6）“其中两位同学”作为特殊元素，有可能都去，也有可能都不去，则需要先进行分类，再计算.

设计意图：本例选取复习参考题中6个典型又难度适中的小题，一则培养训练学生读题审

题能力，从题目中选取关键词进行理解分析，二则复习常见的几类计数问题，考察学生掌

握情况.授课过程中采用小组回答与个人回答方式相结合，听取学生不同的思路与见解，

让学生解释原因，提高学生认知能力和理解能力. 在实际课堂教学中，（2）小题学生还

提出了“插空法”的见解，也符合题目要求，同时反映了学生的灵活变通性.

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思维导图【例2】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数,问

(1)能够组成多少个六位奇数? (2)能够组成多少个大于201345的正整数?（选自B组2）

思路引导：

（1）注意关键字“没有重复”,以及特殊元素“0”和个位数为奇数的要求，体现特殊元素优先考虑原则；

（2）首先让学生直观感知如何做到“大于201345”的条件，学生从正面分析，得出最高位，第二位，以此类推的方式进行求解，但求解过程发现正面解决问题存在较多的可能性，进而引导学生从间接的角度进行求解，既体现对题目的认知规律，又能锻炼学生“以简驭繁，化难为易”的能力.

设计意图：本例题作为第一部分能力考察的进阶问题，难度上比例1要大，一则转换背景，

培养学生能合理应用分类加法和分步乘法两大

二则考察学生应对困难问题时的思维过程，

计数原理，理清思路，做到不重不漏，有条不紊.

二、灵活变通处理二项式问题

【例3】

1(1)

9x展开式的常数项为 （选自A组8(2)）

3x(2)

12x展开式中各项系数之和为 （选自B组1(6)）

(3)

求1xx21x展开式中x4的系数（选自A组8(4)）

10n(4)

用二项式定理证明55559能被8整除.（选自A组9）

5

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(5)

在1x1x思路引导：

341xn2的展开式中，含x2项的系数是多少？（选自B组5）

（1）应用二项式定理通项进行计算；

（2）赋值法，考察二项式展开式系数的常规计算；

（3）本题为一个多项式乘以一个普通二项式形式，引导学生从二项式定理形成过程的理解出发，而并非“生搬硬套”通项或者展开式，用分类与组合思想进行求解；

（4）从5555这个数的形态联想到二项式定理，而二项式定理为两数之和，如何选取合适的数字，则通过题目要证明的被8整除来思考，找离55最近又能被8整除的数，从而得到561559的写法，进行展开即可得证；

（5）本题可从两个角度进行引导. 一则从多项式加法的角度，分别求出每个括号内x2项的系数再进行求和；另则从式子的形态联想到等比数列求和公式，先进行化简再求相应项的系数.

设计意图：本例题重点围绕二项式定理以及其应用，同样从复习参考题中选取5个典型类型进行讲解与提炼. 二项式定理作为本章的一个重要内容，并非只是将其作为一个“公式”教学让学生去记和用，更多的是让学生理解二项式定理的实质与计数原理、组合计算的关联，从而达到灵活变通的效果. 三、追本溯源处理几何问题

【例4】

（1）十二边形的对角线的条数是______（选自A组1(6)）

（类比引申）以正方体的顶点为顶点的不同三棱锥个数为______ （选自B组1(5)）

（2）平面内有m条直线,其中没有两条平行,也没有三条交于一点,共有多少个交点? （类比引申）空间有n个平面,其中没有两个互相平行,也没有三个交于一条直线,一共有多少条交线?（选自A组5）

【课后作业】平面内有两组平行线,一组有m条,另一组有n条.这两组平行线相交,可以构成多少个平行四边形? （类比引申）空间有三组平行平面,第一组有m个,第二组有n个,第三组有l个.不同两组的平面都相交,且交线不都平行,可构成多少个平行六面体?（选自B组3）

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思路引导：

（1）学生拿起读完题目一般会作图，然而十二边形相对于普通多边形来讲较为复杂，因此可以引导学生先从边数较少的多边形入手，比如五边形，可以先直观的数，再上升到计算层面，引导学生线的形成过程为“两点成一线”，则可利用顶点个数结合组合思想进行求解；类比引申题目的意图与原题相仿，引导学生三棱锥的形成过程，也可以通过确定顶点来达到目的；

（2）首先引导学生读懂题意，“没有两条平行,也没有三条交于一点”表明不会出现交于同一点的特殊情况，再引导学生交点的形成过程可以“两线一交点”；引申题则过度到三维立体空间，思路相似.

设计意图：本例从复习参考题中选取了带有几何背景的几个问题，这几个问题的解决过程都需要从根本上理解几何图形的形成，而并非直观意义上的“画”和“数”这么简单，通

过该例的讲解一则拓展学生对几何，尤其是空间几何的认知，二则强化计数原理的应用，

更能培养学生综合分析问题能力.

本课小结

(1) 特殊元素、特殊位置优先安排原则．

(2) 排列、组合混合题先选后排原则．

(3) 正难则反，直接法与间接法灵活变通．

(4) 相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法．

(5) 元素定序，先排后除（缩倍法）．

(6) 复杂问题，应先具体分类的原则，再逐类突破，做到合理分类与准确分步． (7) 熟练二项式定理的通项，合理利用组合思想解决复杂二项式与几何问题 .

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