1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积优质课教案

1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

刘徽的割圆术

数学博大精深，无处不在。数学是一种文化，不同的地域产生了数学不同方面，不同的文化根基，造就了不同的思维品质。

中国古代数学思想十分先进，庄子的.一尺之棰，日取其半，万世不竭.是现代数学中极限思想的根源；刘徽的.割圆术.，. 割之又割，以至不可割.，最终方变成了圆，这种思想也体现了中国古人对极限的认识。利用刘徽的割圆术，我们可以把球的表面积求出来。

课程学习目标

［课程目标］

目标重点：棱柱、棱锥和棱台的表面积公式的推导方法，进一步加强空间与平面问题相互转化的思想方法的应用. 目标难点：棱柱、棱锥、棱台和球的表面积公式的应用. ［学法关键］

研究柱、锥、台表面积的关键是明确它们平面展开图的形状，理解展开是折叠的逆过程.

研习教材重难点

研习点1．直棱柱的表面积

1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h. 如图，是直六棱柱的侧面展开图，直六棱柱的侧面展开图是一些全等的矩形，只要把这些矩形的面积加起来就可以得到直棱柱的侧面积. 设棱柱的高为h，底面周长为c，则得到的直棱柱的侧面积计算公式为S直棱柱侧=ch. 2. 直棱柱的表面积就等于侧面积与上、下底面面积的和.

【联想·发散】

斜棱柱表面积的求法：

1. 由于直棱柱的侧面展开图是矩形，由矩形的面积公式可以得出直棱柱的侧面积的计算公式. 2. 斜棱柱的侧面积可以先求出每个侧面的面积，然后求和，也可以用直截面与侧棱长的乘积来求. 其中直截面就是和棱垂直的截面. 如果斜棱柱的侧棱长为l，直截面的面积为S’，则其侧面积的计算公式就是S侧=S’·l.

研习点2．正棱锥的表面积

1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半，即1S正棱锥侧=na·h’. 其中a为底面正多边形的边长，底面周长为2c，斜高为h’，如图，以正四棱锥为例简单推导计算公式。由于正四棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，底面是正多边形，若设它的底面边长为a，底面周长为4a，斜高

11为h’，容易得到正四棱锥的侧面积计算公式为S正四棱锥侧=·4a·h’=ch’，

221对于正n棱锥，其侧面积计算公式为S正棱锥侧=c·h’. 22．正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积与底面积之和.

联想·发散

一般棱锥表面积的求法

1．正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，这些等腰三角形的面积和即为它的侧面积; 2．一般棱锥的每个侧面都是三角形，因此设法求出它们各自的面积，然后相加即可得到它的侧面积，再与底面积求和，即可得到它的全面积

研习点3.正棱台的表面积

11．正棱台的侧面积是S=(c+c’)·h’，其中上底面的周长为c’，下底2面的周长为c，斜高为h’.

2．正棱台可以看作是用平行正棱锥底面的平面截得的，因此正棱台的侧面展开图是一些等腰梯形，腰重合所得的一个平面图形（如图），

设正棱台上、下底面周长为c’，c，斜高为h’，可得正棱台的侧面积

1S正棱台侧=(c+c’)·h’。

23．正棱台的表面积等于它的侧面积与底面积之和。

【联想·发散】

一般棱台表面积的求法：

1．正棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形，底面是正多边形，则正棱台的表面积就是这几个等腰梯形的面积与底面积之和。

2．同样地，对于一般棱台的侧面积可分别求出每个侧面的面积后相加，再求出其底面积，然后求和，就会得到它的表面积（有时也称全面积）。

研习点4.球的表面积

球面面积（也就是球的表面积）等于它的大圆面积的4倍，即S球=4πR2，其中R为球的半径.

【联想·发散】

圆柱、圆锥、圆台的表面积公式

1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积: （1）将圆柱沿一条母线剪开后，展开图是一个矩形，这个矩形的一边为母线，另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱底面半径为r，母线长为l，则侧面积S圆柱侧=2πrl. （2）将圆锥沿一条母线剪开，展开在一个平面上，其展开图是一个扇形，扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧是圆锥底面圆

2r，r为圆锥底面半径，l为圆锥l1的母线长，根据扇形面积公式可得：S圆锥侧=·2πr·l=πrl，其中l为圆2锥母线长，r为底面圆半径。

（3）圆台可以看成是用一个平行底面的平面截圆锥所得，因此圆台的侧面展开图是一个扇环，设圆台上、下底半径为r、R，母线长为l，1则。S圆台=π(r+R)l=(c1+c2)l，其中r，R分别为上、下底面圆半径，2c1，c2分别为上、下底面圆周长，l为圆台的母线。

2．圆柱、圆锥、圆台的表面积就是侧面积与底面积的和。

探究解题新思路

基础拓展型

题型1. 考查侧面积的计算

例1. 直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，求直平行六面体的侧面积. 【探究】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征，直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形. 【研析】如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，两条底面对角线的长分别为c，d，即AC=c，BD=d，则

的圆周，因此该扇形的圆心角θ=

【反思·领悟】

（1）此题需大胆设元，为列方程方便，可以将对角线设出，但设而不解；

（2）需大胆消元，整体代入三个方程四个未知数不能将其一一解出，也没有必要，这里需要将a与l的乘积看作一个整体进行计算.

1. 正四棱台的两个正方形底面的边长分别为a、b（a>b），侧棱和底面对角线所成的角为α，求棱台的侧面积.

小结: 求多面体的侧面积关键是将侧面沿着一条棱剪开，展成一个平面图形，搞清各个侧面展开图的形状，采用各个击破的策略，把每个侧面的面积求出来后，再将各个侧面的面积进行求和即得所求侧面积.

题型2．棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算

例2. 正四棱锥底面正方形长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积.（单位：cm2

）

【探究】利用正棱锥的高，斜高，底面边心距OE组成Rt△求解，然后代入公式. 【研析】正棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角三角形.

【反思·领悟】

求正棱锥的表面积，就要先求出其侧面积和底面积，然后相加，而要求侧面积就要设法把斜高求出来，而这可通过解直角三角形求得；

2. 边长为6cm的正方形ABCD, BC，CD的中点分别为E、F现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥，求这个三棱锥的全面积. 解：全面积是36cm2，因为折叠后棱锥的表面积均由原正方形的各部分围成，且没有重叠，因此棱锥的全面积就是正方形的面积。

小结：求棱柱、棱锥、棱台的表面积，就是在侧面积的基础上加上底面面积，因此在求表面积时需要注意先按照求侧面积的方法把棱柱、棱锥、棱台的侧面积求出来，然后再把它们的底面的面积计算出来，将二者相加即可。一定要注意不要漏掉底面面积，否则求得的就是侧面积了。

题型3.考查球的表面积的计算

例3. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2,求球的表面积.

【探究】可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径；

【研析】如图为球的轴截面，由球的截面性质知，AO1//BO2，且O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，设球的半径为R，

【反思·领悟】

求球的表面积的关键是把球的半径求出来，而这就是要充分利用截面的性质进行求解

3. 用两平行平面去截半径为R的球面，两个截面半径为r1=24cm，r2=15cm，两截面间的距离为d=27cm，求球的表面积.

S=2500πcm2.

小结：对球的表面积公式只要求了解会用即可! 对于面积的计算有时要用表示数字的字母进行计算。有时可以保留准确值及表示圆周率的字母，要对含字母式子的变形加强训练。

教考动向·演练

1 将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（

B

）

（A）6a2

（B）12a2

（C）18a2

（D）24a2 2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为（

B

）

36

（A）2

（B）3

（C）

（D）

233. 侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的全面积是（

A

）

3332332332a

（B）a2

（C）a

（D）()a

（A）442244. 球内接正方体的表面积与球的表面积的比为（

A

）

（A）2：π

（B）3：π

（C）4：π

（D）6：π

5. 已知正六棱台的上、下底面边长分别是2 和4，高是2，则这个棱台的侧面积等于

。

187

综合创新型

题型1．创新应用题

例4. 一个棱锥的侧面积是Q，在高SO上取一点A，使1SA=SO，过点A作平行于底面的截面得一棱台，求这个3棱台的侧面积.

【探究】要求三棱台的侧面积，需要设法求出各个侧面的面积，而这在本题中是不可行的，故而采用还台为锥的办法来转换求解. 【研析】如图，棱锥S－BCD的截面为B’C’D’，过S

作SF⊥B’C’，垂足为F，延长SF交BC于点E，连结AF和OE，

∵

平面BCD//平面B’C’D’，

平面B’C’D’∩平面SOE=AF，

平面BCD∩平面SOE=OE，

【反思·领悟】

在本题的解答过程中，没有直接去求棱台的侧面积，而是通过求出截掉的小棱锥的侧面积，达到求出棱台侧面积的目的，类似本题的解法，在立体几何中是经常用到的。又如求几何体被截部分的体积（或有关面积）可以通过求剩余部分的体积（或有关面积）得到。反之，求剩余部分的体积（或面积）也可以转化为求截掉部分的体积（或面积）

4.棱台上、下底面面积分别为S上，S下，平行于上、下底面且将棱台的高自上而下分为mS下nS上m：n的截面面积为S0，求证：S0

mn

题型2.开放探究题

例5. 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a>b>c>0，求沿着长方体的表面A到C1的最短线路的长l. 【探究】解本题可将长方体表面展开，可利用在平面内两点间的线段是两点间的最短距离来解答. 【研析】将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图三个图形（甲）、（乙）、（丙）中的长分别为：

222abc2bc

故最短路线的长为

5. 圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为（

B

）

524cm

（C）52cm

（D）521cm

（A）10cm

（B）2

题型3.综合渗透题

例6.长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长. 【探究】要求长方体对角线长，只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可. 【研析】设此长方体的长、宽、高分别为x、y、z，对角线长为l，则由题意得

【反思·领悟】

本题考查长方体的有关概念和计算，以及代数式的恒等变形。在求解过程中，并不需要把x、y、z单个都求出来，而要由方程组（1）（2）从整体上导出，这需要同学们掌握一些代数变形的技巧，需要有灵活性.

6.

如图，直平行六面体的侧棱长是100cm，底面两邻边的长是23cm和11cm，底面的两条对角线的比是2:3，则它的两个对角面的面积分别为

。2000cm2；3000cm2.

【教考动向·演练】

7．球面上四点P、A、B、C，已知PA，PB，PC

两两垂直，且PA=PB=PC=a，则球的表面积为（

B

）

（A）2πa2

（B）3πa2

（C）4πa2

（D）6πa2

8．一个正四棱台上、下底面的边长分别为a、b，高为h，且侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是（

A

）

11111111111

（A）

（B）

（C）

（D）

habhabahbbah29．一个全面积是24cm的正方体，有一个内切球，则该球的表面积是

4π

. 10．体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别是S1、S2、S3，试比较它们的大小. 答案：S2

1．木星的体积约为地球体积的24030倍，则它的表面积是地球表面积的（

C

）倍

（A）60

（B）6030

（C）120

（D）12030

2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，将该正方体沿对角面BB1D1D切成两块，拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为

(4+22)a2

。

3．四面体ABCD的四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体ABCD的表面积与四面体EFGH的表面积的比值是

1：9

.