探究活动 平行线被折线所截问题教案评析

平行线的性质三大技巧应用

我们已经学过了平行线的性质定理:两条直线平行,则同位角相等,内错角度相等,同旁内角互补.下面给大家列举一下,如何使用平行线的性质巧解试题.

一、三线八角必识记

所谓三线八角是指两条直线被第三条直线所截, 形成八个角,如图⑴,其中, 同位角有:∠1与∠5, ∠2与∠6, ∠4与∠8, ∠3与∠7, 内错角有:∠3与∠5, ∠4与∠6, 同旁内角有:∠3与∠6, ∠4与∠5. 1 4 5 8 图⑴

2 3 6 7 例1. 如,如果两条平行线被第三条直线所截得的八个角中,有一个角的度数已知,则(

) A、

B、

C、

D、

只能求出其余三个角的度数. 只能求出其余五个角的度数. 只能求出其余六个角的度数. 只能求出其余七个角的度数. 1 4 5 图⑵

2 3 6 8 7 析解:由三线八角可知:

同位角相等的有:∠1与∠5, ∠2与∠6,∠4与∠8, ∠3与∠7,

内错角相等的有:∠3与∠5, ∠4与∠6, 同旁内角互补的有:∠3与∠6, ∠4与∠5. 所以,当一个角的度数已知时, 其余七个角的度数也就易求出,答案选D.

二、加平行线的辅助线

例2.

如图⑶,一条公路修到湖边时,需拐弯绕过湖通过.如果第一次拐的角∠A是110°, 第二次拐的角∠B是140°, 第三次拐的角∠C,这时的道路与第一条路平行,则∠C是(

). A、120°

B、130°

C、140°

D、

150°

析解:作辅助线BE，把∠A转移到∠ABE，

D B 图⑶

A E F C 第

1 页

共

5 页

∴∠CBE=∠ABC－∠ABE =140°－110°=30°, ∴∠C=180°－30°=150°，140°－110°=30°。

例3．已知：如图⑷,AB∥ED，

求证：∠B+∠BCD+∠D=360°。

A E 图⑷

B C D 分析：我们知道只有周角是等于360°，而图中又出现了与∠BCD相关的以C为顶点的周角，若能把∠B、∠D移到与∠BCD相邻且以C为顶点的位置，即可把∠B、∠BCD和∠D三个角组成一个周角，则可推出结论。

证法一：如图⑸,过C作CF∥AB，∴∠BCF=∠B，

∵AB∥ED，∴CF∥ED，

∴∠FCD=∠D，

∵∠BCD+∠BCF+∠DCF=360°，

∴∠B+∠BCD+∠D=360°。

证法二：如图⑹, 过C作FC∥AB，

∴∠B+∠BCF=180°，

∵AB∥ED，

∴FC∥ED，

∴∠FCD+∠D=180°，

∴∠B+∠BCF+∠FCD+∠D=360°

即∠B+∠BCD+∠D=360°。

证法三：如图⑺, 过B作BF∥DC，

∴∠FBC=∠BCD，又∵AB∥ED，

∴∠ABF=∠D，

∵∠ABC+∠CBF+∠ABF=360°，

∴∠ABC+∠BCD+∠D=360°。

例4．如图⑻,直线a∥b，∠CAE=20°，∠CBF=40°，则∠ACB=————。

请同学们自己完成。

b a A E C 40°

A E B C 图⑸

D F A E B F D 图⑹

C F B C E 图⑺

D A 20°

B F 图⑻

第

2 页

共

5 页

三、平移角

例5．如图⑻, AB∥ED，CE平分∠BCD交AB于点E，∠A=110°，则∠AEC为多少度。

析解:∵AB∥ED，

∴∠A+∠ACD=180°，

∠ACD=180°－∠A=180°－110°=70°，

又∵CE平分∠BCD，

∴∠ACE=∠ECD=∵AB∥ED，

∴∠AEC=∠ECD，

∴∠AEC=35°。

例6．如图⑼,AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有_____个，若∠1=40°，则∠AHG=_________。

析解:∵AC∥EF，

∴∠1=∠ACB，

∵AD∥EG∥BC，

∴∠1=∠HEF，∠GHC=∠ACB，∠DAC=∠ACB，

又∠AHE=∠GHC，

∴∠1=∠GHC=∠AHE=∠DAC，

B 1 F 图⑼

C E A H D C 图⑻

D A E B 11∠ACD=×70°=35°，

22G 则与∠1相等的角有∠ACB、∠HEF、∠GHC、∠AHE、∠DAC共5个；

∵∠1=40°，

∴∠AHE=40°，

则∠AHG=180°－∠AHE=180°－40°=140°。

第

3 页

共

5 页

转折角处巧添辅助线

学***行线的知识后，我们知道平行线有三条性质，当两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。因此，在求解有关平行线中角的问题时，我们可以在转折点处添加辅助线------平行线，从而构造出特殊位置关系的角，为解题架桥铺路。下面举例加以说明。

例1.（2008黑龙江）如图AB//CD,A120,172则D的度数为

解析：由图形可以看出，在两条平行线AB,CD之间的E点处出现了一个转折角，即AED，因此我们可以过点E作EF//AB,，由条件AB//CD,可知AB//EF//CD 所以1DEFA120

所以DEF12011207248

又因为CD//EF,从而DDEF48

例2.（2008沈阳）如图，己知AB//DE,ABC80,CDE140,则BCD__ 解析：由图形可以看出，C点处出现了一个转折角，因此我们可以过点C作CF//AB, AB//DE

CF//DE

由此可知ABCBCF80

CDEDCF180

DCF18014040

所以BCDBCFDCF804040

例3.（2008广安）如图，AB//CD, 若ABE120,DCE35,则

BEC

度. 解析：题中出现转折角，即BEC，可过点E作与第

4 页

共

5 页

AB,CD平行的直线FG, 则ABEBEF180,FECECD

ABE120,DCE35

BEF60,FEC35

所以BECBEFFEC603595

故答案为95

例4.（第三届中学生智能通讯赛初一赛题）如图试探索A,E,C之间具备什么关系时，AB//CD,并说明理由。

解析：观察图形可以猜想AAECC360时, AB//CD。

理由如下：在E点出现了转折角，可以过点E作EF//AB,则1A180

AAECCA12C360

2C3601A360180180

所以EF//CD 又因为EF//AB，

所以AB//CD.

第

5 页

共

5 页