1.1 生活 数学教案（名师）

生活中的数学

例1

如图，从A村到E村有两条路（一条经过B、C、D村，另一条不经过），哪条路比较近呢？（两条路分别是由一个比较大的半圆和四个小半圆组成的）

分析

从图形来看，直觉告诉我们，经过B、C、D村的路比较近，这似乎太明显了．

不过，半圆的长很容易计算，还是利用数学知识加以计算更能保证答案正确无误，或者更容易说服别人．

解

设经过B、C、D村的道路中，每个小半圆的半径都为r，则不经过B、C、D村的道路的半径为4r．

经过B、C、D村的道路的长为

。

可见，两条道路的长度相同．

评注

（1）看到经过计算得出的结果，恐怕很多同学会有出乎意料的感觉：这个结果与我们预先想到的结果大不相同，这说明了学习数学知识既是很有趣，同时又是很有用处的．

无论是数学学习中，还是在生活的其他方面，直觉都是很重要的，但是只有直觉，而不依靠数学知识、数学方法也是不行的．

有一则数学趣闻同样说明了这个道理．

印度宰相发明了一种妙趣无穷的国际象棋，国王舍罕决定重赏他．国王把宰相召进宫里，对他说：“你发明了这种绝妙的游戏，我要重重地奖赏你，你要什么，凡是你想得到的，我都可以满足你的要求！”

宰相想了想，微笑着对国王说道：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我1粒麦子，在第二个小格内2粒，第三个小格内4粒，第四个小格内8粒，照这样下去，每一小格是前一小格的2倍，请把摆满棋盘64个小格的所有麦子都赏给您的仆人吧！”

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，不经过B、C、D村的道路的长为

国王吩咐侍从抬来一袋麦子，开始按达依尔宰相的要求往棋盘上放麦子，一格一格地放下去，每一格都是前一格数量的2倍，照这样，越到后面麦子的数量越大，当侍从把所需麦粒仔细算完以后，国王竟被这个数目吓呆了，因为他没有

1＋2＋22＋23＋24＋…＋263＝18 446 744 073 709 551 615粒麦粒．

如果按宰相的要求，国王必须有一个高4米、宽10米的粮仓装麦子，这个粮仓有3000万公里长，能绕地球赤道700圈，可以把地球全部表面（包括海洋）铺上2米厚的小麦层，这是一个多么巨大的数字啊！它相当于全世界两千多年小麦产量的总和．

这么多麦子，国王怎么能拿得出来呢？所以国王无法兑现奖赏．

（2）在本题中，我们是通过设小半圆的半径都是r来解决本题的，实际上，小半圆的半径是否相同以及小半圆的个数是几个，都与解出本题无关．

例2

请你仔细观察图给出的五个图形．它们中哪一个与众不同呢？请说出你的理由．

分析

所谓“与众不同”，是说某一图形具有的某一特征是其他四图形所不具备的．

回答这一问题，必须对五个图形进行仔细的比较．

一个图形可能有什么特征，这是多方面的，比如形状，是由什么基本图形组成的或变化而来的，是否具有对称性，外围轮廓和内部的情况，是否很像生活中的什么事物，是否具有（表示）某种特殊的意义，乃至有哪几种颜色等等。

从不同的角度来说，这五个图形中的每一个都有区别于其他图形之处．

解答一

图A与众不同．因为另外四个图形都是轴对称图形，惟有图A不是．

解答二

图B与众不同．它是一个正方形，图形内的两条线段把它分成为四个小正方形．就是说，如果沿图形内部的两条线段，把这个图形剪成四部分，那么其中每一部分的形状都与原图形相同，另外四个图形都不具有这一特点．

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解答三

图C与众不同．它的轮廓线是断开的，或者说，它不是封闭图形，而另外四个图形都是封闭图形．

解答四

图D与众不同．它是五个图形中惟一的三角形（指外围轮廓）．

解答五 图E与众不同．因为另外四个图形或者是由线段组成的，或者是其中有段线，而图E则不然，它是完全由曲线组成的图形．

评注

（1）上面给出了五个解答，哪个正确呢？都正确．

也许，对一道题有五个不同的解答，而且都是正确解答，感到很不理解，这可能是由于以前见到的这种题目太少造成的．随着课程改革的深入进行，以后将还能见到这样的题目．

在生活、工作中，有许多问题是没有确实答案的，比如在一定面积的土地上，做新建一所初中的规划，怎样安排教学楼、操场。大门的位置，怎样进行绿化与美化，就没有确实的答案．最后决定选用的方案是不是最好的？这也没有绝对正确的答案．

（2）本题如果是要求写出每个图形的与众不同之处，那么前面的解答是不全面的．因为我们还可以从另外的角度审视图形．比如，只有图A是由两个半圆组成的；只有图B中的角都是直角；只有图C中的两部分是靠一个点连接的，……

（3）“只有图A不是轴对称图形”，不能说只有图A不具有对称性．以后将学到不同于轴对称的对称性．

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