圆的面积公式推导板书设计及设计说明

圆的面积

教学特点:

1.注重联系生活实际,开展探究性的数学活动。

学生从认识直线图形发展到认识曲线图形是一次质的飞跃,他们已经能从形象思维发展到抽象思维,对事物已经具有了一定的立体思维空间,所以在教学中注重联系生活实际,利用学具开展探究性的数学活动,使学生从中获得成功的体验,感受到数学的价值,从而更加热爱学习数学,热爱生活。

2.在教学中渗透数学思想,完成新知构建。

在学习数学的过程中,数学知识虽然很重要,但更重要的还是以数学知识为载体所体现出来的数学思想方法。圆是一个由曲线围成的图形,圆的面积计算,对学生来说有一定的难度,所以在让学生猜测和运用小正方形来测量的基础上,利用学具动手操作,让学生自主发现圆的面积和拼成的长方形面积之间的关系,从而推导出圆的面积计算公式,降低了学习的难度,同时将化曲为直的数学思想融入到教学活动中,有效地完成了知识的构建。

课前准备

教师准备PPT课件圆的面积演示教具大小不同的两张圆形纸片

学生准备剪刀小正方形透明塑料片圆形学具

教学过程

⊙复习铺垫,导入新课

1.回忆圆的周长的计算方法。

(1)已知直径怎样求圆的周长?

(2)已知半径怎样求半圆的周长?

2.建立圆的面积的概念。

(1)感知圆的面积的大小。

师拿出准备好的大小不同的两张圆形纸片,问:大家看这两张圆形纸片,它们的面积一样大吗?

师明确:圆的面积有大有小。

师:谁能说一说什么叫做圆的面积呢?

师指出:圆所占平面的大小叫做圆的面积。

(2)区别圆的面积和周长。

指导学生拿出准备好的圆形学具,同桌之间用手摸一摸,指一指:哪儿是圆的周长?哪儿是圆的面积?

学生操作后,师生共同明确:圆的周长是指围成圆一周的封闭曲线的长;圆的面积是指圆所占平面的大小。

设计意图:在实际的教学中学生很容易混淆圆的周长和面积,因此,设计了摸一摸、指一指这个活动,让学生在初步感知圆的面积和周长的区别的同时,充分感知面积的意义。着重对容易出错的地方进行对比和强化,尽可能地让学生减少差错。

⊙动手操作,探究新知

1.通过度量,猜想圆的面积的大小。

用边长等于半径的小正方形透明塑料片,直接度量圆的面积,(课件演示度量过程)观察后得出圆的面积比4个小正方形小,又比3个小正方形大。初步猜想:圆的面积相当于半径平方的3倍多一些。

师:由此看出,要求圆的精确面积是无法通过度量得出的。

2.回忆多边形面积公式的推导过程。

想一想,我们是用什么方法推导出平行四边形、三角形和梯形的面积公式的?

(课件演示平行四边形的面积推导过程)

过渡:我们在学习推导几何图形的面积公式时,总是把新的图形通过分割、拼合等办法,将它们转化成我们熟悉的图形。今天我们能不能也用这样的方法推导出圆的面积计算公式呢? 3.动手操作。

(1)组织学生分别把圆平均分成16份、32份,然后剪开,拼成两个近似的长方形。

课件演示剪拼的过程:

(2)讨论:

①拼成的图形是长方形吗?(是近似的长方形,因为它的上下两条边不是线段)

②圆和近似的长方形有什么关系?(形状变了,但面积相等)

③把圆平均分成16份和32份后,拼成的图形有什么区别?(把圆平均分成32份后拼成的图形更接近于长方形)

④如果把一个圆平均分成64份、128份……拼成的图形会怎样呢?

(课件演示,得出结论:圆平均分成的份数越多,拼成的图形越接近于长方形)

(3)观察、汇报拼成的长方形与圆的关系。

①拼成的长方形的长和宽与圆的周长和半径有什么关系?(结合学生汇报,课件演示)圆的半径=长方形的宽

圆的周长的一半=长方形的长

②拼成的长方形的面积与圆的面积有什么关系?

(引导学生理解:形状不同,面积相等)

(4)推导圆的面积计算公式。(引导学生结合图形理解)

因为拼成的长方形的面积相当于原来圆的面积,拼成的长方形的长相当于原来圆的周长的一半,宽相当于原来圆的半径,且长方形的面积=长×宽,所以圆的面积=圆的周长的一半×圆的半径,即S 圆=×r 。

因为C =2πr ,所以S 圆=πr ×r ,S 圆=πr 2。

4.探究推导圆的面积计算公式的其他方法。

(1)小组合作,看能不能把圆转化成其他图形来求面积。

(2)汇报不同方法。(教师结合学生回答,课件演示,如果学生方法单一,教师可以补充;如果学生采用的方法比较多,可以根据课堂时间选择展示)

方法一把圆转化成若干个三角形之和求面积。

将圆16等分,取其中的一份,看作一个近似的三角形,三角形的面积是这个圆的面积的。这个三角形的底是圆的周长的,三角形的高是圆的半径。

三角形的面积=×底×高

圆的面积=××r ÷

=×2×π×r ×r

=πr2

方法二把圆转化成三角形求面积。

如下图,把圆转化成一个近似的三角形,三角形的底相当于圆的周长的,三角形的高相当于圆的半径的4倍,三角形的面积等于底乘高除以2,所以圆的面积等于圆的周长的乘4r 除以2,也等于πr2。

方法三把圆转化成若干个平行四边形之和求面积。

将圆16等分,取其中两份,可以拼成一个近似的平行四边形。平行四边形的面积是圆的面积的,平行四边形的底是,平行四边形的高是圆的半径,平行四边形的面积=底×高,则:圆的面积=×r ÷

=×r ×8

=πr2

设计意图:在引导学生理解和掌握把圆转化成长方形的方法推导出圆的面积计算公式后,鼓励学生用其他方法,采用小组合作的学习方式,通过动手操作,把圆转化成其他学过的图形来推导圆的面积计算公式,培养学生的动手操作能力及创新能力。

⊙实践应用

课件出示教材68页例1:圆形草坪的直径是20 m,每平方米草皮8元。铺满草皮需要多少钱?

(1)读题,找出已知条件和所求问题。

(2)说出解题思路。

(3)列式解答。

20÷2=10(m) 3.14×102=314(m2)

314×8=2512(元)

答:铺满草皮需要2512元。

(4)指名板演,并说一说自己的解题过程。

设计意图:通过在实际问题中运用圆的面积计算公式,培养学生的实际应用能力和解决问题能力。

⊙巩固练习,提升反馈

1.自主完成教材68页1题。

(1)指名板演,其他同学独立完成。

(2)算法讲评。

2.根据下面所给的条件,求圆的面积。

(1)r =5 cm (2)d =8 dm

⊙课堂总结

这节课我们学习了什么?通过本节课的学习,你们有什么收获?

⊙布置作业

1.运用转化的方法,通过实际操作,探索新的推导圆的面积计算公式的方法。

2.教材71页1、2、3、4题。

板书设计

圆的面积

长方形的面积=长×宽

圆的面积=圆的周长的一半×圆的半径

S 圆=×r =πr ×r =πr 2