3.2 复数的四则运算ppt课件课堂实录

数系的扩充与复数的引入小结与复习

教学设计

一．教学目标：

1、了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位的必要性和作用，体会数学发

现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；

2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；

3、理解并掌握复数的代数形式四则运算法则与规律

二．教学重难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件；复数的代数形式四则运算法则

与规律。

三．教学方法：探究归纳，讲练结合

四．知识梳理：

知识网络

五．知识点：

1．复数的定义

设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足做复数的实部，b叫做复数的虚部．全体复数所构成的集合叫做复数集，记作2．复数的分类：对于复数（1）当（2）当（3）当时，是实数

时，是虚数

时，是纯虚数

. ，a叫

3．复数相等

两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则z1＝z2⇔

4．复数的几何意义

(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i.显然，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数

(2)复数z＝a＋bi 一一对应

有序数对(a，b) 一一对应点Z(a，b)．

(3)设

＝a＋bi，则向量

的长度叫做复数a＋bi的模(或绝对值)，记作|a＋bi|，

且|a＋bi|＝5．共轭复数

如果两个复数实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共轭复数，即复数

z＝a＋bi的共轭复数为＝

6．复数的运算

(1)复数的加、减法运算法则(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. (2)复数的乘法

①设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，

那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. ②乘法运算律：

（1）交换律：z1z2= z2 z1，

(2) 结合律：z1(z2z3)=(z1z2)z3

，

(3) 乘法对加法的分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3。

③复数的乘方：对复数z, z1, z2和自然数m，n有

④ (3)复数的除法

除法运算规则：= a+bi , = c+di （a,b,c,d∈R

） 0 则六．典例分析

1、

复数的概念

1＋ai

例1（1）设i是虚数单位，复数2－i为纯虚数，则实数a为( )

A．2 B．－2 C．－2

D.2

11（2）若，则实数m的值为（ ）

A.

（3）设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________ 【思路分析】：

（1）先对2－i化简，再利用纯虚数定义即可求得。

（2）先化简成a＋bi的形式，再利用定义求得。

（3）利用复数相等求得，利用复数定义求实部。

【自主解答】：[来源:Z*xx*k.Com]

1＋ai1＋ai2＋i2－a＋(2a＋1i1＋ai（1）【解析】选A.2－i＝2－i·2＋i＝5，∵2－i为纯虚数，

（2）【解析】

1＋ai B. C. D.

所以（2）答案C. （3）【解析】设z＝a＋bi(a、b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i，得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，

∴a＋1＝2，∴a＝1. 【技巧点拨】：复数的分类

2、复数相等

例2 （1）若，其中为虚数单位，则 （2）若（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=____________. 【思路分析】：（1）对复数进行乘法运算然后利用复数相等定义可得；

（2）利用复数的相等及相关运算可以求得.本题若首先对左边的分母进 行复数有理化，也可以求解.[来源:学。科。网]

【自主解答】：

（1）[解析] （2）【解析】因为，所以[来源:学科网]

.又因为都为

实数，故由复数的相等的充要条件得解得所以

【技巧点拨】：

1.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法

2.两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等.

3、复数的几何意义及复数的模

例3（1）已知复数 (i为虚数单位)，则|z|=_____. （2）下面是关于复数的四个命题：

P1:|z|=2, P2:z2=2i, P3:z的共轭复数为1+i, p4:z的虚部为-1，

其中的真命题为（ ）（A）p2,p3 (B)P1,P2 (C)P2,【思路分析】：

（1）本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的 求得.

形式，利用

(D)P3,

（3）若复数z满足|z－3|≤，求|z－(1＋4i)|的最大值和最小值．

（2）本题正确把握复数的概念和运算方法是解题的关键. （3）利用复数蓦地几何意义确定复数对应点的取值范围，转化为点到点的距离问题。

【自主解答】：

（1）【解析】=，

（2）【解析】：由题意得， ，复数的虚部为，所以，则，，

是正确的，故选C. （3）【解析】 |z－3|≤表示以(3,0)为圆心，为半径的圆及其内部的点，|z－(1＋4i)| 表示上述点到(1,4)的距离，而(1,4)、(3,0)两点之间的距离为＝2，

∴|z－(1＋4i)|max＝2＋1＝3，|z－(1＋4i)|min＝2－1＝1 【技巧点拨】：

复数z＝a＋bi 一一对应

有序数对(a，b) 一一对应点Z(a，b)．

设

＝a＋bi，则向量的长度叫做复数a＋bi的模(或绝对值)，记作 。

|a＋bi|，且|a＋bi|＝4、复数的四则运算

例4（1）是虚数单位， 。

A、网]

B、

C、

D、[来源:学科 （2）复数 （A）【思路分析】：

（1） 。

（B） （C） （D）

为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数

，然后利用复数的代数运算，结合得结论. （2）先利用分式除法法则化简，再平方即可。

【自主解答】：

（1）【解析】，选

（2）【解析】选A 【技巧点拨】：

复数的代数形式的四则运算类似于多项式的四则运算。若在运算的过程中，能用

；

等结论，可以提高运算的速度。

【总结提升】：

1.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是 复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。[来源:学_科_网]

2.两共轭复数在复平面上对应点关于轴对称，所以他们的和必为实数，差为纯 虚数，积为实数。

3.实数的共轭复数是它本身。

4.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用。

5.一些常用的结果：

（1）的周期性；（2）；（3）。