11.2 提公因式法教学内容

提公因式法(二) 教学过程

一、复习(提问) 1．什么是因式分解？它与乘法有何关系？

2．什么叫做公因式？怎样的方法叫做提公因式法？

3．把－42x3y2z+84x2y2z2－14x2yz分解因式．

4．用提公因式法分解因式要注意哪些问题？

二、新课

我们学习了公因式是单项式的提公因式法因式分解，如2am－3m=m(2a－3)，如果公因式是个多项式，比如m=b+c，即形如2a(b+c)－3(b+c)的多项式，那么对这样的多项式能否用提公因式法分解因式呢？今天我们就来研究这个问题(板书课题) 例1

把2a(b+c)－3(b+c)分解因式．

分析：我们把这个多项式看作是由两大项：2a(b+c)和－3(b+c)组成，这两项都含有因式(b+c)，如果设b+c=m，代入原多项式，则问题就化为找2am与－3m的公因式了．

解：2a(b+c)－3(b+c) =(b+c)(2a－3) 提问：下列各多项式的公因式分别是什么？

(1)a(x+y)+b(x+y)；

(2)x(a+3)－y(a+3)；

(3)6m(p－3)+5m(p－3)；

(4)7q(p－q)－2p(p－q)；

(5)x(a+b)－y(a+b)+z(a+b)；

(6)p(a2+b2)+q(a2+b2)－r(a2+b2)；

(7)2a(x+y－z)－3b(x+y－z)－5c(x+y－z) 参考答案

(1)x+y；(2)a+3；(3)p－3；(4)p－q；(5)a+b；(6)a2+b2；(7)x+y－z

例2

把6(x－2)+x(2－x)分解因式．

先指出上式两大项中没有明显的公因式(无法直接提公因式)，然后引导学生发现：2－x与x－2只差符号不同，即2－x=－(x－2)，原多项式可变形为6(x－2)－x(x－2)，两大项含公因式x－2，可以用提公因式法分解因式．

解：原式=6(x－2)－x(x－2) =(x－2)(6－x) 课堂练习：把10m(a+b)－5n(b+a)分解因式．

参考答案

5(a+b)(2m－n) 指出，有时原多项式中各大项无明显的公因式，但某些因式经改变符号或交换因式中某些项的位置后成为公因式(这种公因式可称为隐含公因式)，应注意观察发现．

课堂练习：

1．在下列各式中等号右边的括号前填入正号或负号，使左边与右边相等：

(1)y－x= (x－y)；(2)b－a= (a－b)；

(3)d+c= (c+d)；(4)－z－y= (y+z) (5)(b－a)2= (a－b)2；

(6)－x2+y2= (x2－y2)；

(7)(x－y)3= (y－x)3；

(8)(1－x)(x－2)= (x－1)(x－2)

2．把下列各式分解因式．

(1)a(x+y)+b(x+y)；

(2)m(m－n)2－n(n－m)2．

参考答案

1．(1)－；(2)－；(3)＋；(4)－；

(5)＋；(6)－；(7)－；(8)－．

2．(1)(x+y)(a＋b)；

(2)(m－n)3．

例3

把18b(a－b)2－12(a－b)3分解因式．引导学生发现：多项式中的两大项都含有(a－b)的幂，第一项中它的幂是2次的，第二项中它的幂是3次的．次数较低的幂(a－b)2应作为公因式(这也是一种隐含公因式)提出来；两大项系数的最大公约数6也应提出来；所以公因式是6(a－b)2

解：原式=6(a－b)2·3b－6(a－b)2·2(a－b) =6(a－b)2[3b－2(a－b)] =6(a－b)2(3b－2a+2b) =6(a－b)2(5b－2a) 指出，提取公因式后，另一个因式[3b－2(a－b)]要进行化简，化简过程应注意去括号时符号的变化．

课堂练习：

1．把6(p+q)2－2(p+q)分解因式；

2．把2(x－y)2－x(x－y)分解因式；

3．把2x(x+y)2－(x+y)3分解因式；

参考答案

1．2(p+q)(3p+3q－1) 2．(x－y)(x－2y)

3．(x+y)2(x－y) 如果把例3的多项式改为18b(a－b)2－12(b－a)3，则应怎样分解因式呢？

教师提问：(1)以上多项式与例3多项式有何差别？(2)能否直接提公因式(a－b)2呢？(3)什么情况下才能提公因式？(4)能否把多项式变形，使两大项都含因式(a－b)2应怎样变形？(因为(b－a)3=[－(a－b)]3=－(a－b)3，所以18b(a－b)2－12(b－a)3=18b(a－b)2+12(a－b)3)(分析后不解答)．

例4

把5(x－y)3+10(y－x)2分解因式．

引导学生分析：因为(y－x)2=(x－y)2或(x－y)3=－(y－x)3，所以上式中的两大项有公因式5(x－y)2或－5(y－x)2. 解：原式=5(x－y)3+10(x－y)2

=5(x－y)2[(x－y)+2] =5(x－y)2(x－y+2)；

或原式=－5(y－x)3+10(y－x)2

=－5(y－x)2[(y－x)－2] =－5(y－x)2(y－x－2)．

指出，当公因式是隐含的时候，要先把多项式变形，再提公因式．一个多项式作不同的变形，可能得到不同的公因式，但它们仅仅是符号的差别而已．

指出变形过程的规律：

当n为偶数时，(y－x)n=(x－y)n；

当n为奇数时，

(y－x)n=－(x－y)n．

课堂练习：

1．把3(y－x)2+2(x－y)分解因式；

2．把mn(m－n)－m(n－m)2分解因式．

参考答案

1．(x－y)(3x－3y+2) 2．m(m－n)(2n－m)

三、因式分解的应用

先因式分解，再求值：4a2(x+7)－3a2(x+7)，其中a=－5，x=3．

(原式=a2(x+7)(4－3)=a2(x+7)=(－5)2(3+7)=250) 课堂练习：

先因式分解，再求值：5x(m－2)－4x(m－2)，其中x=0.4，m=5.5．

参考答案

x(m－2)，1，40；

四、小结

提公因式法分解因式的关键是确定公因式，当公因式是隐含的时候，多项式要经过适当的变形；变形的过程要注意符号的相应改变．

五、布置作业

1．阅读课文

2．把下列各式分解因式：

(1)6p(p+q)－4p(p+q)；

(2)(m+n)(p+q)－(m+n)(p－q)；

(3)(2a+b)(2a－3b)－3a(2a+b) (4)x(x+y)(x－y)－x(x+y)2；

(5)(a+b)(a－b)－(b+a)；

(6)a(x－a)+b(a－x)－c(x－a)；

(7)10a(x－y)2－5b(y－x)；

(8)3(x－1)3y－(1－x)3z

3．先因式分解，再求值．

(1)x(a－x)(a－y)－y(x－a)(y－a)，

其中a=3，x=2，y=4；

(2)－ab(a－b)2+a(b－a)2－ac(a－b)2，

其中a=3，b=2，c=1．

4．复习学过的乘法公式，预习下一节课文．

参考答案

2．(1)2p(p+q)；(2)2q(m+n)；(3)－(2a+b)(a+3b)；(4)－2xy(x+y)；

(5)(a+b)(a－b－1)；(6)(x－a)(a－b－c)；(7)5(y－x)(2ay－2ax－b)；(8)(x－1)3(3y+z) 3．(1)(x－a)(y－a)(x－y)∶2 (2)－a(a－b)2(b－1+c)∶－6