测试国家优质课一等奖

《锐角三角函数》单元测试1 班级：_____姓名：_____座号：______ 一、单选题

1．cos30°的值为

(

) A. 1233

B.

C.

D.

22232．在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,则sin A的值等于(

)

A. 123

B.

C.

D. 1

2223．在Rt△ABC中，如果各边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值（

）

A. 扩大为原来的2倍

B. 缩小为原来的C. 扩大为原来的4倍

D. 不变

4．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,∠AOC=45°,OC=2,则点B的坐标为(

)

A. (2,1)

B. (1, 2)

C. (2+1,1)

D. (1,

1

22+1)

5．计算sin30°·cos60°的结果是（

）

A. 1313

B.

C.

D.

44246．如图，已知∠B的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点的坐标为B(－1，0)，则sinB的值是(

)

A.

7．在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，则cosA.

1 2345

B.

C.

D.

5555A的值是(

) 23435

B.

C.

D.

5544

8．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝7，则树高BC为(用含α的代数式表示)(

)

A. 7sinα

B. 7cosα

C. 7tanα

D.

9．在△ABC中，

C90，

B2A，则cosA等于（

）

A. 13

B.

C. 227

tan3

D. 3

3310．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，已知sinA=4，则cosB的值为（ ）

3347A．4 B．4 C．5 D．5

二、填空题

11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tanB＝________．

12．在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，则cosA的值为________．

13．某坡面的坡度是3

：1，则坡角α是_____度．

14．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan∠B的值为_________

（14题）

（15题）

（16题）

15．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向北偏东45°方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向南偏东45°方向航行，离开港口2小时后，两船相距

海里．

16．如图，△ABC中，∠C＝90°，若CD⊥AB于点D，且BD＝4，AD＝9，则tanA＝_________.

2

三、解答题

17．计算：

(1)3tan30°＋cos245°－2sin60°；

(2)tan260°－2sin45°＋cos60°.

18．计算：（﹣2011）0+（

19．计算：|﹣2|﹣2cos60°+（

20．如图,已知在等腰三角形ABC中,AB=AC=1.若BC=2,求△ABC三个内角的度数;

3 2）﹣1

+|2

﹣2|﹣2cos60°．

21

）﹣1﹣（π﹣3

）0．

6

21．如图，小明想测量学校教学楼的高度，教学楼AB的后面有一建筑物CD，他测得当光线与地面成22°的夹角时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m高的影子CE；而当光线与地面成45°的夹角时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离（点B，F，C在同一条直线上）

（1）请你帮小明计算一下学校教学楼的高度；

（2）为了迎接上级领导检查，学校准备在AE之间挂一些彩旗，请计算AE之间的长．（结果精确到1m，参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.9375，tan22°≈0.4）

22．（本题满分6分）如图，观测点A、旗杆DE的底端D、某楼房CB的底端C三点在一条直线上，从点A处测得楼顶端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB上，从点D处测得楼顶端B的仰角为38．5°．已知旗杆DE的高度为12米，试求楼房CB的高度．

（参考数据：sin22°≈0．37，cos22°≈0．93，tan22°≈0．40，sin38．5°≈0．62，cos38．5°≈0．78，tan38．5°≈0．80）

4

23．某海域有A、B、C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A、B两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B船的北偏东78°方向．

（1）求∠ABC的度数；

（2）A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．（结果精确到0.01小时）．

（参考数据：

24．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=40海里，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行半小时后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向．求该船航行的速度．

5 ≈1.414，≈1.732）

25．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）

6

参考答案

1．C 【解析】解：cos30°=2．B 【解析】试题解析：

C90,ACBC，3．故选C．

2∴ABC为等腰直角三角形，

sinAsin452.

2故选B. 3．D 【解析】试题解析：根据已知定义A、B、C所对的边分别是a,b,c.且C为a直角，

tanA，

b∴若a'2a，b'2b，

则tanA∴锐角A的正切值没有变化. 故选D. 4．C 2aa，

2bb【解析】试题解析：过点B作BDx

轴于点E，

∵OABC是菱形, AOC45,OC2，

OAAB2,BAD45，ADBD2sin451，

∴点B的坐标为：

故选：C.

7 21,1.



5．A 111【解析】sin30cos60.

224故本题应选A.

6．D 【解析】如图：过点A作垂线AC⊥x轴于点C. 则AC=4，BC=3，故由勾股定理得AB=5. sinB=AC4=.故选D. AB5

7．B 【解析】过点A作BC边上的高，垂足为D.则AD⊥BC，

又∵AB=AC，

∴AD平分∠BAC，BD=DC=1BC=6cm. 2BD²在Rt¡÷ADB中，AB=10cm，BD=6cm，AD=AB²=10?6?=8cm. ∴cos∠BAD=cosAAD84===. 故选B. 2AB105

8．C 【解析】在Rt¡÷ABC中，tanα=9．A 【解析】试题解析：

A30.

8 BC，则BC=AC·tanα=7tanα，故选C. ACBA90,B2A.

cosA=3.

2故选A.

10．B．

【解析】

3试题分析：由Rt△ABC中，∠C=90°，得∠B+∠A=90°．cosB=sinA=4，故选B．

考点：互余两角三角函数的关系．

11．12

5AC，其中BC已知，再在Rt△ABCBC【解析】试题分析：由∠C＝90°，则tanB=中利用勾股定理求得AC即可.

解：∵在Rt△ABC中，BC=5，AB=13，

∴AC=AB2BC2=12，

AC12=.

BC512故答案为．

5312．

5∴tanB=【解析】∵AB²=AC²+BC²，

∴∠ACB=90°（勾股定理逆定理），

∴cosA=13．60

【解析】设坡角是α，则tanα=3

：1，

则α=60°．

故答案为：60．

14．1

【解析】如图所示：

AC63==. AB105

9

tan∠BAD1

.

BC故答案是：1. 15．40海里．

【解析】试题分析：如图所示：∠1=∠2=45°，AB=12×2=24海里，AC=16×2=32海里，因∠BAC=∠1+∠2=90°，即△ABC是直角三角形，由勾股定理可得BC=AB2AC2242322=40海里．

考点：方位角；勾股定理．

216．

3【解析】试题分析：先证明△BDC∽△CDA，利用相似三角形的性质得到CD2=BD•AD，求出CD=6，然后根据锐角三角函数的定义即可求出tanA考点：解直角三角形

17．(1) 17；(2) 2

22CD2．

AD3【解析】试题分析：将特殊三角函数值代入，再按照实数的运算顺序计算即可.

解：(1)原式＝3×113223＋（）－2×＝3＋－3＝.

223221172＋＝3－2＋＝－2.

2222(2)原式＝(3)2－2×18．2

10

【解析】试题分析：首先进行乘方运算，去掉绝对值符号，然后进行合并同类二次根式计算即可．

试题解析：原式=1+2 +2﹣2﹣1=2

19．6

【解析】试题分析: 直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简求出答案

试题解析:

|﹣2|﹣2cos60°+（=2﹣2×=6．

20．45°.

【解析】试题分析：

BC2,

ABAC1.

AB2AC2BC2.

直接用勾股1

+6﹣1

21

）﹣1﹣（π﹣3

）0

6定理可以判定ABC是直角三角形，即可求出B,C的度数. 试题解析：

ABAC1,

BC2,

AB2AC2BC2.

ABC是直角三角形, BAC90.

BC45.

21．（1）12m（2）27m

【解析】

AM试题分析：（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=ME，即可求出教学楼AB的高度；

（2）利用Rt△AME中，cos22°=ME，求出AE即可．

AE试题解析：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为xm，

在Rt△ABF中，∠AFB=45°，

∴BF=AB=xm，

11

∴BC=BF+FC=（x+13）m，

在Rt△AEM中，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=（x﹣2）m，

AM又tan∠AEM=ME，∠AEM=22°，

x2∴x13=0.4，解得x≈12，

故学校教学楼的高度约为12m；

（2）由（1），得ME=BC=BF+13≈12+13=25（m）．…（6分）

ME在Rt△AEM中，cos∠AEM=AE，

25ME∴AE=cos22≈0.9375≈27（m），

故AE的长约为27m．

考点：解直角三角形的应用

22．24米

【解析】

试题分析：构造直角三角形，利用锐角三角函数来解直角三角形的问题，从而解决实际问题．

试题解析：解法一：如图，过点E作EF⊥BC，那么CF=DE=12，EF=DCC,

x12xtan38.5

设BC=x，那么tan22x12x0.8

即0.4解得x=24

所以楼房CB的高度为24米．

12

EDED12解法二：在Rt△ADE中，tanA=AD，即AD=tanA0.4

BCBC在Rt△ACB中，AC=tanA0.4

BCBC在Rt△DCB中，DC=tanBDC0.8

BC12BC所以0.80.40.4

解得BC=24

所以楼房CB的高度为24米．

考点：解直角三角形的应用

23．（1）30°；（2）约0.57小时.

【解析】

试题分析：（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到∠DBA的度数，则∠ABC即可求得；（2）作AH⊥BC于点H，分别在直角△ABH和直角△ACH中，利用三角函数求得BH和CH的长，则BC即可求得，进而求得时间．

试题解析：（1）∵BD∥AE，∴∠DBA+∠BAE=180°，∴∠DBA=180°﹣72°=108°，∴∠ABC=108°﹣78°=30°；（2）作AH⊥BC，垂足为H，∴∠C=180°﹣72°﹣AH133°﹣30°=45°，∵∠ABC=30°，∴AH=2AB=12，∵sinC=AC，∴AH1221.4141225AC=sinC=sin45=122．则A到出事地点的时间是：30≈≈0.57小时．约0.57小时能到达出事地点．

13

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．

24．402

【解析】试题分析：过点A作AD⊥OB于D，先解Rt△AOD，得出AD=1OA=2海2里，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2海里，则AB=2AD=22海里，结合航行时间来求航行速度. 试题解析：过点A作AD⊥OB于点D．

在Rt△AOD中，

∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=40，

∴AD=OA=20．

在Rt△ABD中，

∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°

∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B =45°=∠B，

∴BD=AD=20，

∴∴该船航行的速度为答：该船航行的速度为．

海里/小时，

海里/小时．

14

考点：1、等腰直角三角形，2、勾股定理

25．（23+4）米．

【解析】

试题分析：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定义解答即可．

试题解析：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，

∵∠BCD=150°，

∴∠DCF=30°，又CD=4，

22∴DF=2，CF=CDDF=23，

由题意得∠E=30°，

DF∴EF=tanE=23，

∴BE=BC+CF+EF=6+43，

3∴AB=BE×tanE=（6+43）×3=（23+4）米，

答：电线杆的高度为（23+4）米．

考点：解直角三角形的应用.

26．（1）参见解析；（2）不变，45°．

【解析】

试题分析：（1）要想求得两条直线平行，我们先要确定题中的内错角相等，即证明∠EAB=∠ABC，由题知∠ABC=60º，∠FAC=30º，所以∠EAB=∠ABC=1800-∠BAC-∠FAC=180°-90°-30°=60º，所以EF∥GH．（2）过点A作AM平行EF和GH，本

15

题利用平行线间的同旁内角互补，∠A=90º，求得∠FCA+∠ABH=270º，在利用已知条件中的两个角平分线，得到∠FCD+∠CBH=135º，再利用两直线平行，内错角相等，可知∠CBH=∠ECB，即∠FCD+∠ECB =135º，所以可以求得∠BCD的度数．

试题解析：（1）先要确定题中的内错角相等，即证明∠EAB=∠ABC，∵∠EAB=1800-∠BAC-∠FAC， ∠BAC = 90°，

∠FAC =30°∴∠EAB=600，

又∵∠ABC =600，∴∠EAB=∠ABC ，∴ EF∥GH；（2）经过点A作AM∥GH，又EF∥GH，∴AM∥EF∥GH，∴∠FCA+∠CAM=1800，∠MAB+∠ABH=1800，∠CBH=∠ECB ，又∵∠CAM+∠MAB=∠BAC = 90°，∴∠FCA+∠ABH=2700，

又∵BC平分∠ABH，CD平分∠FCA，∴∠FCD+∠CBH=1350 ，又∠CBH=∠ECB，即∠FCD+∠ECB =1350，∴∠BCD=1800-（∠FCD+∠ECB） =180°-135°=450 ．

考点：1．平角定义；2．平行线性质与平行公理推论的应用．

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