课题学习 会徽中的数学设计意图

课题学习《会徽中的数学》教学设计

教材分析：

《会徽中的数学》位于浙教版九年级下册第一章结束的课题学习，是选学内容，是解直角三角形的应用的体现，不仅生活中有数学，绘画中也有数学，激发学生学习数学的兴趣，拓宽学生视野。

学生分析：

本班的学生数学基础总体不错，个别同学的思维比较活跃，动手能力总体不错。部分同学胆小，不敢举手发言。

教学目标：

1、经历会徽中数学知识的挖掘与欣赏过程，进一步感受数学知识在图案设计中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣

2、进一步体会直角三角形中边角之间的关系，加深对锐角三角函数、勾股定理等知识的理解和整体认识。

3、进一步发展运用解直角三角形解决问题的意识和能力。

教学重点：培养学生运用解直角三角形等数学知识解决问题的意识和能力，激发学习数学的兴趣。

教学难点：探索第几个直角三角形的内角∠AnOAn+1是第一个小于20º的角，由于没有学过解根式不等式，学生在理解上会有困难。

教学过程：

一、引入：欣赏图片

问：这些图片给你什么感觉？

问：什么图片？

（让学生欣赏图片，发现图片的抽象美、简单美、对称美，抽象出会徽中的数学图形，领会会徽的设计蕴含了深刻的数学意义，也体现了数学与艺术的结合）

二、课题：会徽中的数学

1、第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽

7

A

A

A

AA

A

A

A

O

A

如图是第七届国际数学教育大会的会徽。它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的。

设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中. OA2

OA3

OA4

OA5

OA6

OA7

OA8

OA9

OAn ……

（这个表格的设计在书本中是直接给出答案的，本课时设计成表格，让学生经历运用勾股定理和寻找规律的过程，且学生通过预习，对本问题能很快解决，所以用开火车的形式让学生作答，为后面的问题打下基础。）

（1）问：你会画这个会徽吗？怎么画？

（2）写出∠A1OA2

的正切，写出∠AnOAn+1

的正切（1≤n≤9，且n为整数）

（本题对书本的题目进行了修改，把∠An-1OAn改为∠AnOAn+1，可减少对学生思维干扰）

（2）求∠A3OA4的度数

（3）利用锐角三角函数可以求出∠A8OA9

的度数。你知道怎么求吗？

（设计这个问题，考察学生是否会思维定势，是否会想到用正弦、余弦求角）

（4）如果∠AnOAn+1是第一个小于20°的角，那么它是第几个直角三角形的内角？

（tan20º≈0.3640,

sin20º≈0.3420,

cos20º≈0.9397）

（课后完成第一个小于15°角的三角形，及时运用所学：锐角三角函数的增减性。但解不等式好多学生想不到，引导学生拓展。）

师问：刚才解决了角的问题，同学们能自己提问题吗？（等待2分钟左右）

再观察：

(1)

若要使OAn的长度等于OA3的2倍，则按这种方法能否得到？要做几个直角三角形？

（这一问，学生容易出错，培养学生善于观察，不急于下结论）

(2)

如果把图中的直角三角形继续作下去，那么OA1，

OA2，…OA25

这些线段中有多少条线段的长度为正整数？

(3)

若记△OA1A2面积为S1，△OA2A3面积为S2，…，请用含有n(n是正整数)的式子表示Sn.当n=100时，所作的直角三角形中，有几个三角形的面积是有理数？有几个三角形的面积是整数？（学生容易出错，培养学生仔细审题，不把有理数与整数搞混）

2、会徽二：2002年国际数学家大会会徽

C

a

b

（1）抽象出图形后，学生完成赵爽弦图的作用：勾股定理的证明

（3）利用四个全等的直角三角形，还可以拼出怎样的正方形，且利用它们也能证明勾股定理？请画出图形，并说明理由。

（教师提供4个全等的直角三角形，进行头脑风暴，并让学生进行展示；若学生能有多种方案，则第三个会徽不展示，否则按顺序

）

师：根据此图，你还能提出问题吗？（学生提学生答，若没有，则展示下面的题目）

（给学生2分钟左右时间思考，同学之间进行讨论解答，并请一位同学展示问题，）

请你再仔细观察与思考图中蕴藏的规律，回答下列问题：

(1)若较长直角边为3，较短直角边为2，则图中大正方形与小正方形的面积之比是 . (2)如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为100和4，则直角三角形的两直角边分别为 。

（3）若要画个大正方形的边长为5，小正方形的边长为2的赵爽弦图，又怎么画？

三、课堂小结：

通过本节课的学习，你学到了什么？

有什么感悟？

1、知识要点：

（1）勾股定理的探索及运用

（2）锐角三角函数的应用

（（4）探索并发现不同的规律

2、美的感悟：

（1）简单美、抽象美、对称美、协调美、形数统一美、推理美

（2）用美的眼睛发现生活的美，生活中数学美，数学中美的生活，用自己的智慧勾勒美的生活。

四、作业

1、如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，点A的坐标为(2，0)．过点A作AA1⊥OB，垂足为A1；过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为A2；再过点A2作A2A3⊥OB，垂足为A3；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为A4；…；这样一直作下去，则A2013的纵坐标为

．

2、2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的

面积为1，小正方形的面积为

，则sinθ＋cosθ＝____

3、在平面直角坐标系中，把矩形OABC的边OA，OC分别放在x轴和y轴的正半轴上，已知OA＝2

，OC＝2.

(1)直接写出A，B，C三点的坐标；

(2)将矩形OABC绕点C逆时针旋转x°，得到矩形OA1B1C1，其中点A的对应点为点A1. ①当0

②当x＝90时(如图②)，延长AC交A1C1于点D，求证：AD⊥A1C1；

③当点B1落在y轴正半轴上时(如图③)，设BC与OA1交于点P，求过点P的反比例函数的表达式；并探索该反比例函数的图象是否经过矩形OABC的对称中心？请说明理由．

4、在矩形OABC中，OA＝4，OC＝2，以点O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立直角坐标系．

(1)将矩形OABC绕点C逆时针旋转至矩形DEFC，如图①，DE经过点B，求旋转角的大小和点D，E的坐标；

(2)将图①中矩形DEFC沿直线BC向左平移，如图②，平移速度是每秒1个单位长度．

①经过几秒，直线EF经过点B? ②设两矩形重叠部分的面积为S，运动时间为t，写出重叠部分面积S与时间t之间的函数表达式

教学反思：

优点：面向全体学生，整节课比较流畅，学生也比较配合，给学生足够的思考时间和展示空间，充分调动学生的积极性，建立学生自信；学生对本届课的学习也显示了极大的乐趣；学生的总结比较到位，体现了学生良好的数学素养；课后作业质量也高。

缺点：

（1）教师自己上课比较紧张，把第一张PPT的动画播放一起放了，给人不熟悉的感觉；有几个地方的说话有点啰嗦；

（2）拍摄时，因设备问题，部分学生没有拍到，坐两边的同学展示的机会偏少。

（3）板书方面也是有所欠缺。