1.不等式的基本性质含PPT的教学设计及点评

不等式的性质

1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：

abab0 abab0 abab0

2．不等式的性质：

（1）abba ，

abba

（反对称性）

（2）ab,bcac ，ab,bcac

（传递性）

（3）abacbc，（可加性） 推论：abcacb

（移项法则）

推论：ab,cdacbd

（同向不等式相加）

（4）ab,c0acbc，ab,c0acbc（可乘性）

推论1：ab0,cd0acbd（乘法法则）；

推论2：a>b，且ab>0nn11（倒数法则）

ab推论3：ab0ab（乘方法则）； 推论4：ab0nanb（开方法则）； 不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强

3. 基本不等式：

a＋bab22(1)a＋b≥2ab；变式：≥，当且仅当a＝b时等号成立．

22a＋b2a＋ba＋b(2)如果a≥0，b≥0，则≥ab；变式：ab2ab,ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做222正数a、b的算术平均数，ab叫做正数a、b的几何平均数．

222a2b2ab2ab（3）基本不等式链：

ab22ab（4）基本不等式的使用条件：①正：a,b两项均为正数；②定：a,b两项的和为定值或a,b两项的积为定值；③等：a,b两项能相等. （5）利用基本不等式求最值的方法：①添项与减项②添系数③“1”的代换④“和”与“积”的互化

（6）推广：abc3abc，1.有三个条件：（1）ac>bc；(2)22333abc3abc，当且仅当a=b=c时取“＝”

3ab22＞；(3)a>b，其中能分别成为a>b的充分条件的个数有（ ）

ccA．0 B．1 C．2 D．3

2.若a>b>1，P=lgalgb， Q=1ab (lg a +lg b ),R=lg(),试比较P ，Q， R的大小

22

23.

设f(x)=ax+bx,且1≤f(－1) ≤2, 2≤f(1) ≤4 ,求f(－2)的取值范围

2124.(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( ) xy

A．(－∞，－2]∪[4，－∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2，4) D．(－4，2)

(2)已知a>0，b>0，且ab＋a＋4b＝12，则ab的最大值为____．

11(3)函数f(x)＝1＋logax(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值mn为____．

11(4)已知正整数a、b满足4a＋b＝30，使得＋取得最小值的实数对(a，b)是( ) abA．(5，10) B．(6，6) C．(10，5) D．(7，2)

5.已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．

6

下列函数中，其最小值为2的函数是（ ） (A) y=x＋1 x( B)y=sinθ＋

12(0<θ<) (C)y=x2cos21x22 (D)y=sinθ＋1(0<θ<π) sin7.(2014重庆)若log4(3a4b)log2

ab，则a＋b的最小值是( ) A．6＋23 B．7＋23 C．6＋43 D．7＋43 ab8．设a, b为实数，且a＋b=3，则22的最小值是 ；

9.设a, b, c为正数, 则(a＋b＋c)(

10．若8x＋

211.已知a>b>c，a+b+c=0方程ax+bx+c=0的两个实根为x1，x2 111＋＋)的最小值为

abc2y1＋=6，且xy>0，则x= ，y=

xxy（1）

证明：－21b1；

2a222（2）

若x1+x1x2+x2=1，求x1－x1x2+x2

（3）

求x1x2

22

1．已知a

A1<1 Bab<1 Caabb>1 Da2>b2

答案: D 2．已知命题甲：acc，b>d，则甲是乙的（ ）

A充分非必要条件 B必要非充分条件 C

充要条件 D非充分非必要条件

答案: D 3．若|a+c|<|b|，则（ ）

A－b

答案: B 5

若0

A2ab>a Bb21b2a＋1>b＋1 Da2bba1aaba>ab2>2 C

答案：B

b21b2a2提示：∵00 6．若b<0

Aaac>bd Bc>bd Ca＋c>b＋d Da－c>b－d

答案: C 7．已知1

AMN DM与N大小不确定

答案: C

提示: M－N＝－x2＋4x－3=－(x－2)2－1, x∈(1, 3), M－N>0 8．已知ab≠0，则b>1是a<1的（ ）条件ab

A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件D非充分非必要条件

答案: A

提示:∵ab≠0，ba>1 ,若a>0, b>0,则b>a>0, ∴ab<1; 若a<0, b<0,则b

Aaacabmbb

答案: A 答案：D

11．设a, b为实数，且a＋b=3，则2a＋2b的最小值是（ ）

A6 B42 C22 D26

）

答案: B

提示: ∵a＋b=3, ∴2＋2≥22ab=42

ab12．已知k为实数, 方程x＋(k＋3i)x＋4＋ki=0有实根的充要条件是

Ak≥4 B－32≤k≤32 Ck=±32 Dk≠0 2答案: C

提示: ∵方程x＋(k＋3i)x＋4＋ki=0有实根，∴x＋kx＋4＝0,且3x＋k=0, x=－±32

13．若实数x, y满足x＋y－2x＋4y=0，则x－2y的最大值是（ ）

A22k2, 代入到x＋kx＋4＝0中解得k=3225 B10 C9 D5＋25

答案: B

提示: 方程x＋y－2x＋4y=0化为(x－1)＋(y＋2)=5, (x, y)为圆上一点，设x=1＋5sinα,y=－2＋5cosα, 则2222x－2y=5＋5sin(α＋φ), ∴最大值为10 12214．若0

2122A Bb C2ab Da＋b

2答案: B

1222提示: b>a, b>, 2a<1, 2ab

215．若f (x)=|lgx|，且当af C>f B，则下列各式中（ ）成立

A(a－1)(c－1)>0 Bac=1 Cac>1 Dac<1 答案: D

1提示: 用图象分析, a<1, b<1, c>1,又f A>f C，>c, ∴ac<1 a16．不等式ba＋>2成立的充要条件是

ab答案: ab>0且a

17．若a>0, b>0, a＋b=1，比较大小：2a12b1 22

答案: ≤ 18．已知lgx＋lgy=2，则11＋的最小值是

xy答案: 1

5提示: xy=100, 1111＋≥2=

xyxy5x219．当x≠0时,的最大值是

1x4

答案: 1 220．若直角三角形的周长为2，则它的最大面积是

答案: 3－22

提示: 设斜边为

c, a=csinα, b=ccosα, a＋b＋c=2, c(1＋sinα＋cosα)=2, c[1＋2sin(α＋)]=2, c≤4212=2(2－1), S△=22121csin2α≤c2=3－22

442221．若2x＋3y=64，则x＋y的最大值是

答案: 32 x264222提示: x＋y=, x≤32, ∴x＋y≤32 3222x22kxk22．若不等式<1对于x取一切实数都成立，则k值的范围

是

24x6x32x22kxk22答案: 10, 对于x取一切实数都成立, ∴<0,解得k244x6x3－4k＋3<0, ∴10对于x的任意值都成立，则k值为

答案: 0≤k<4 提示: 当k=0时, 不等式成立，当k≠0时, 要求k>0且24．a, b, c为正数, (a＋b＋c)(答案: 9 提示: (a＋b＋c)(2<0,解得0

abc111bacabc＋＋)=3＋≥9 abcabacca25．若8x＋y1＋=6，且xy>0，则x= , y=

xxy答案: x=±1, y=±1 22提示: ∵

xy>0, ∴8x＋yy11y112＋≥338x2=6,当8x==时,等号成立，∴x=±, y=±1 2xxxyxyxxy26．设－1

A8x<8<08 B8<08<8xxxxx C08<8xx<8 D8<8xxx<08

x答案：B

27．若x>y>1，且0

xa

ax>ay; ③

log1x

y

; ④

loga

(221)>loga

x

(1)，其中正确的个数为（ ）

yA1 B2 C3 D4 答案：D

228

下列命题：①

a≥ba－b≥0; ② 3≥5是矛盾不等式; ③

x－2x＋2>0是条件不等式; ④

a＋1>1是绝对不等式其中真命题的个数为（ ）

A0个 B1个 C2个 D3个

答案：C提示：①、②是真命题

29

设数轴（方向由左向右）上的点M、N分别对应于坐标xM、xN,且xM

AM在N右边 B当M在原点左边时，N不可能也在原点左边

CM在原点左边，N在原点右边 DM在N左边

答案：D

30

下列判断：①

a1>b, a2>b则a1>a2; ②

若ac>bc, 则c>0; ③

由lg111111>lg, 2>1,有2lg>lg; ④

a>b,则<,其中不能成立的个数是（ ）

ab4545A1个 B2个 C3个 D4个

答案：D

331

若a<－6,下列关系式中正确的是（ ）

Aa>－6a Ba<－6/a Ca－1<－8 Da>36

423答案：A

32

下列命题：①不等式两边减去同一个数或式子，不等号方向不变；②两个不等式两边分别相加得到与被加式同向的不等式；③不等式两边改变符合时，不等号反向；④两个同向不等式的对应边相乘，方向不变；⑤两个异向不等式的对应边相除新不等式与被除式同向其中正确命题的个数是（ ）

A3个 B4个 C2个 D5个

答案：C提示：①, ③正确

33

设a>b>0, 0

Aa·lg(sinx)> b·lg(sinx) Ba·lg(sinx)< b·lg(sinx) Ca·lg(sinx)≥

b·lg(sinx) Da·lg(sinx)≤

b·lg(sinx) 答案：D

提示：lg(sinx)≤0, ∴a·lg(sinx)≤

b·lg(sinx) 34

若a－b>a, a＋b

Aa>0, b>0 Ba>0, b<0 Ca<0, b<0 Da<0, b>0 答案：C

35

下列推导中，不正确的是（ ）

Ac－ab Bcc<, c>0a>b

abCa>b>0, c>d>0ab Dnanb,nNa

dc答案：B

36

若a、b、c、d

四个数满足条件：①d>c; ②

a＋b=c＋d; ③

a＋d

Ab>c>d>a Ba>d>c>b Cd>b>a>c Db>d>c>a

答案：D

37

下列命题中正确的是（ ）

A由不等式M可以导出不等式N，则M是N成立的必要条件

BM≥N是M>N成立的充分条件

C不等式M与不等式N两者等价，则M是N的充要条件

D不等式M不成立时，不等式N也不成立，则M是N的充分条件

答案：C

c

c38

若a,b∈R, c∈Q, 则使a>b成立的充分条件是（ ）

Aa>b>0, c<0 Ba>b, a>0, c>0 Cb>a>0, c<0 Db>a>0, c>0 答案：C

39

下列不等式在a、b>0时一定成立的是（ ）

2ababa2b2A≤ab≤≤ ab222ababa2b2Bab≤≤≤

ab22ab2aba2b2Cab≤≤≤ 2ab22ababa2b2Dab≤≤≤

ab22答案：A

3240

a>0, a≠1，P＝log

a(a+1), Q=log

a(a+1), 则P、Q的大小关系是（ ）

AP>Q BP

答案：A

41

在下列结论中错用重要不等式作依据的是（ ）

xyzx22Ax、y、z∈R,则≥ 3 B≥2 2yzxx1+ Clgx＋log

x10≥2 Da∈R, (1＋a)(1＋+1)≥4 a答案：C提示：C中要求x>1, 当0

x10≤－2 42 设a、b、m都是正数，且a

Abmbaamaamaam<<1 B≥ C≤≤1 D1< <

bbmbbmbbmama答案：B提示：aamm(ab)aam－＝<0, ∴≥恒不成立

bbmb(bm)bbm43

下列说法正确的是（ ）

An个数的算术平均数不小于它们的几何平均数

B三个数的立方和不小于这三个数的积的三倍

C一个数与其倒数之和不小于2 D几个非负数之和也一定非负

答案：D

44

若a>0>b, 则11 (填“>”,“<”或“=”) ab答案：>

45

若a>0,b<0,a＋b>0,则a、b、－a、－b的大小关系是

答案：a>－b>b>－a

46

421介于两个连续自然数之间，这两个数是

log210log310log710答案：3, 4

提示：42142=lg(2×3×7)=lg1008, log210log310log710

∴3<421<4

log210log310log71047

若不等式A与不等式B等价，则A是B的 条件；若由不等式A可以导出不等式B，则A是B的 条件

答案：充要条件；充分条件

48

当条件 满足时，3a3b3ab成立

答案：ab>0, a>b或a<0,b>0 49

在用分析法证明不等式过程中，前面的不等式是后面不等式的 条件；后面不等式是前面不等式的 条件

答案：必要条件；充分条件

50

使不等式a>b, 22a

ab－1>1, lg(a－b)>0, 2>2都成立的a与b的关系式是

b答案：a>b＋1且b>0 课前后备注