2.基本不等式教案3

1．1.2 基本不等式

1．会用基本不等式证明一些简单问题．

2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值，从而学会解决简单的应用问题．

1．定理1. 22如果a，b∈R，那么a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．

22思考1 利用定理1有：x＋3≥________，其中等号成立的条件是：x＝________．

答案: 6x

3

2．定理2. 如果a，b是正数，那么a＋b2≥ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．

思考2 如果x，y是正数，那么答案:

≥

3.x2＋y22________xy(当且仅当x＝y时取“＝”)．

a＋b2≥ab的几何解释．

如右图所示，以a＋b为直径作圆，在直径AB上取一点C，使AC＝a，CB＝b，过C作弦DD′⊥AB，则CD2＝CA·CB＝ab. 从而CD＝ab，而半径a＋b2≥CD＝ab.

1

4．重要结论．

已知x，y都是正数，则：

(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值________；

(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值________．

12答案: (1)2P

(2)S

4

思考3 已知x，y都是正数，积xy是定值100，那么当x＝y时，和x＋y有最________值________．

已知x，y都是正数，和x＋y是定值3，那么当x＝y时，积xy有最________值________．

9答案: 小

20 大

4

一层练习

1．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3＋3的最小值为(

) A．10 B．63 C．46 D．183 答案: D

2．下列不等式一定成立的是(

) 12A．lg(x＋)>lg x(x>0) 4B．sin x＋2xy1≥2(x≠kπ，k∈Z) sin xC．x＋1≥2|x|(x∈R)

D.1>1(x∈R)

x＋12＋

解析：应用基本不等式：x，y∈R，x＋y2≥xy(当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．

11122当x>0时，x＋≥2·x·＝x，所以lg(x＋)≥lg x(x>0)，故选项A不正确；运用424基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有1＝1，故选项D不正确．

x＋12

2

答案：C

3．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(

) A．a＋b>2ab B．a＋b≥2ab

112baC.＋> D.＋≥2 22abab222解析：∵a＋b－2ab＝(a－b)≥0，∴A错误．

对于B，C，当a<0时，b<0时，明显错误．

对于D，∵ab>0，∴＋≥2abbaabba·＝2. ab答案：D

224．(2014·上海高考理科)若实数x，y满足xy＝1，则x＋2y的最小值为________．

解析：x＋2y＝x＋(2y)≥2x(2y)＝22，所以x＋2y的最小值为22. 答案：22.

222222

二层练习

5．若2＋2＝1，则x＋y的取值范围是(

) A．[0，2] B．[－2，0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：利用基本不等式转化为关于x＋y的不等式，求解不等式即可．

∵2＋2≥22，2＋2＝1，

x＋y∴22≤1，

1x＋y－2∴2≤＝2，

4∴x＋y≤－2，

即(x＋y)∈(－∞，－2]．

答案：D

6．若正数x，y满足x＋3y＝5xy.则3x＋4y的最小值是(

) A.2428 B. C．5 D．6 55xyx＋yxyxy解析：将已知条件进行转化，利用基本不等式求解．

113∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy得＋＝1. 5yx112y1313x∴3x＋4y＝(3x＋4y)＋＝(＋4＋9＋)＝

5xyx5y1313x12y131＋＋≥＋×2x5555y∴3x＋4y的最小值为5. 答案：C

3x12y·＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，

yx

3

7．设正实数x，y，z满足x－3xy＋4y－z＝0，则当取得最小值时．x＋2y－z的最大值为(

) 99A．0 B. C．2 D.

84解析：含三个参数x，y，z，消元，利用基本不等式及配方法求最值．

z＝x2－3xy＋4y2(x，y，z∈R＋)，

22zxyzx2－3xy＋4y2x4yx4y∴＝＝＋－3≥2·－3＝1. xyxyyxyxx4y222222当且仅当＝，即x＝2y时“＝”成立，此时z＝x－3xy＋4y＝4y－6y＋4y＝2y，

yx∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y＝－2y＋4y＝－2(y－1)＋2. ∴当y＝1时，x＋2y－z取最大值2. 答案：C

148．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(

) 222ab79A. B．4 C. D．5 22解析：∵a＋b＝2，∴a＋b1414a＋b52ab5＝1，∴＋＝(＋)·＝＋＋≥＋22abab22b2a22ab·b2a2ab9＝当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立，

b2a2149故y＝＋的最小值为. ab2答案：C

22119．设x，y∈R且xy≠0，则x＋22＋4y的最小值为________．

yx1221122解析：x＋22＋4y＝5＋22＋4xy≥5＋2yxxy等号成立．

答案：9

12222·4xy＝9，当且仅当xy＝时，xy22211|a|10．设a＋b＝2，b>0，则＋的最小值为________．

2|a|b解析：分a>0和a<0，去掉绝对值符号，用均值不等式求解．

当a>0时，当a<0时，综上所述，1|a|1aa＋ba1ba5＋＝＋＝＋＝＋＋≥；

2|a|b2ab4ab44ab4－a1|a|1－aa＋b－a1b13＋＋＝＋＝＋＝－＋≥－＋1＝. 2|a|b－2ab－4ab4－4ab441|a|3＋的最小值是. 2|a|b4

4

3答案：

4

三层练习

11．(2014·重庆卷)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是(

) A．6＋23 B．7＋23 C．6＋43 D7＋43 43解析：由log4(3a＋4b)＝log2ab，得3a＋4b＝ab，则＋＝1，

ab4b3a43所以a＋b＝(a＋b)＋＝7＋＋≥7＋2abab4b3a·＝7＋43，

ab4b3a当且仅当＝，即a＝4＋23，b＝23＋3时等号成立，故其最小值是7＋43. ab答案：D

a212．设常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围是______．

x答案: ，＋∞



13．某单位用木料制作如下图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的2矩形，上部是等腰三角形，要求框架围成的总面积为8 m，则x，y分别为多少可使用料最省(精确到0.001 m)? 15

122解析：由题意得xy＋x＝8 228－48x∴y＝＝－(0＜x＜42)．

xx4于是框架用料长度为：

2316x＝＋2x＋≥22x2x2l＝2x＋2y＋2×316×＋2＝46＋42. 2316当＋2x＝，

x2

5

即x＝4＝8－42时，等号成立．

3＋22此时x≈2.343，y＝22≈2.828

14．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)．

解析：(1)由题意：当

0≤x≤20时，v(x)＝60；

当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.再由已知得

1a＝－，3200a＋b＝0，解得

20a＋b＝60，200b＝.3故函数v(x)的表达式为

60，0≤x≤20，v(x)＝1

（200－x），20

60x，0≤x≤20，f(x)＝1

x（200－x），20

11x＋（200－x）210 000当20

233当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．

所以当x＝100时，

f(x)在区间(20，200]上取得最大值综上，当x＝100时，

10 000. 3f(x)在区间[0，200]上取得最大值10 000≈3 333，

3即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．

6

1．在公式a＋b≥2ab及(1)a＋b≥2ab和2222a＋b2≥ab的应用中，应注意三点：

a＋b2≥ab成立的条件是不同的，前者只要求a，b都是实数，而后（－1）＋（－4）22者要求a，b都为正数，例如，(－1)＋(－3)≥2(－1)×(－3)成立，而≥2（－1）×（－4）不成立．

(2)关于不等式c≥d及c≤d的含义．

不等式“c≥d”的含义是“或者c＞d，或者c＝d”，等价于“c不小于d”，即若c＞d或c＝d有一个正确，则c≥d正确．

不等式“c≤d”读作c小于或等于d，其含义是“c

22(3)这两个公式都是带有等号的不等式，因此，对定理“当a，b∈R时，a＋b≥2ab当且仅当a＝b时等号成立”的含义要搞清楚．它的含义是：

22①当a＝b时，a＋b＝2ab；

22②当a＋b＝2ab时，a＝b；

22③当a≠b时，a＋b＞2ab；

22④当a＋b＞2ab时，a≠b. 对基本不等式：a，b为正数，则a＋b2≥ab当且仅当a＝b时等号成立，作类似理解．

2．解题时要注意考查“三要素”：①函数中的相关项必须都是正数；②变形后各项的和或积有一个必须是常数；③当且仅当各项相等时，“＝”号才能取到，可简化为“一正二定三相等”．求函数最值时，常将不满足上述条件的函数式进行“拆”、“配”等变形，使其满足条件，进而求出最值．有些题目，尽管形式上是x＋型的式子，即两数之积为常数，11但由于定义域的限制，不能使等号成立，如y＝x＋(x≥5)的最小值，尽管x＋≥2，当xpxxx1＝时，即x＝1时取“＝”号，而x＝1不在其定义域[5，＋∞)内，因此不能使用基本不等x式．这时可利用函数单调性来解：f(x)＝ax＋(a＞0，b＞0)，在0，

内是减函数，在

bxb，－ab，0ab，＋∞，－∞，－ab内是增函数．函数图象如下图所示．

a

另外，在证明或应用基本不等式解决一些较为复杂的问题时，需要同时或连续使用基本不等式，要注意保证取等号条件的一致性．

7