二 一般形式的柯西不等式优秀课堂实录

3.2 一般形式的柯西不等式

祁阳二中 赵丽娟

教学目标：

1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法

教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。

教学过程：

一、复习引入：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则

(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中等号当且仅当adbc时成立。

定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则||||||，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：

(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2 二、讲授新课：

类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3)2当且仅当

α ，

β

共线时，这就是三维即

β0

，或存在一个实数k，使得aikbi(i1,2,3)时，等号成立.形式的柯西不等式. 对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？

定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n为大于1的自然数，ai,bi（i1，2，…，n）为任意实数，则：(a12a22即

222222an2)(b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn)

aii1n2bi(aibi)2，其中等号当且仅当2i1i1nnbb1b2n时成立（当ai0时，约定bi0，a1a2an。

i1，2，…，n）证明：构造二次函数：f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2

1

即构造了一个二次函数：f(x)(ai2)x22(aibi)xbi2

i1i1i1nnn由于对任意实数x，f(x)0恒成立，则其0，

即：4(aibi)4(ai)(bi2)0，

22i1i1nnnni1即：(aibi)2(ai2)(bi2)，

i1i1i1nn等号当且仅当a1xb1a2xb2anxbn0，

即等号当且仅当b1b2bn时成立（当ai0时，约定bi0，i1，2，…，n）。

a1a2an如果ai（1in）全为0，结论显然成立。

三、应用举例：

1例3 已知a1,a2,…, an都是实数，求证：(a1a2an)2a12a22an2

n分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。

例4已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a+ b + c + d > ab + bc + cd + da 分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。

例5、已知 x2y3z1,求 x2y2z2

的最小值.

2 222 分析：由

x2y3z1以及

x2y2z2

的形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。

四、巩固练习：

练习：1．设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求149的最小值。

xyz 2．已知a+b+c+d=1，求a+b+c+d的最小值。

3．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求3a22222222bc的最大值。

选做：4．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=6，求a+b+c的最小值。（08广一模）

5．已知a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求222111（08东莞二模）

的最小值。abc 6．已知x+y+z=25，则m=x+2y+z的最小值是____________.(08惠州调研) 五、课堂小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。

六、布置作业：P41习题3.2 2，3，4，5

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3