2.基本不等式名师教学视频（文字实录）

3.4基本不等式及其应用教案

榆中县第一中学

张宇功

教材分析：

本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。

要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。

教学目标：

1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解

决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几何平均数的概念，学

会构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问

题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→

剖析归纳证明→

几

何解释→

应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。启动

观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能

力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学

生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的

乐趣。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从

实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，

从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重、难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式abab的证明过程及应用。

2难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；

2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

教法分析

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

教学准备

多媒体课件、板书

教学过程

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为

学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

具体过程安排如下：

一、

创设情景，提出问题；

设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境: 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不22等式ab2ab。在此基础上，引导学生认识基本不等式。

二、抽象归纳：

一般地，对于任意实数a,b，有a2b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立。

[问] 你能给出它的证明吗？ 学生在黑板上板书。

特别地，当a>0,b>0时，在不等式a2b22ab中，以a、b分别代替a、b，得到什么？

设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生

理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.

答案：

ab【归纳总结】

如果a,b都是正数，那么ab立。

我们称此不等式为基本不等式。

其中数，ab称为a,b的几何平均数。

三、理解升华：

1、文字语言叙述：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2、联想数列的知识理解基本不等式

已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系？

两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

3、符号语言叙述：

若a0,b0，则有ababab，当且仅当a=b时，ab。

22ab称为a,b的算术平均2ab，当且仅当2ab(a,b0)。

2a=b时，等号成[问]

怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）

“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

当a=b时，取等号，即abab仅当a=b时，取等号，即ab4、探究基本不等式证明方法：

[问] 如何证明基本不等式？

ab；

2abab。

2（意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。）

2(ab)0展开证明。

方法一：作差比较或由

方法二：分析法（完成课本填空）

设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”。

要证abab ①

2只要证ab ②

要证②,只要证ab 0 ③

要证③,只要证()20 ④

显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立

。

点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.

5、探究基本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式赋予不等式立的条件。

如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，DabCDab

几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。

四、探究归纳

例1：把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

例2：把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

结论：

若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值；

若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。 简记为：“一正、二定、三相等”。

ab2abab(a,b0)2的几何解释，通过数形结合，abab(a,b0)2几何直观。进一步领悟不等式中等号成abOCAB

六、实际应用：

例1（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由xyxy，

2可得 xy2100， 2(xy)40。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. （2）解法一：设矩形菜园的宽为x

m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜，其面积S＝x（36－2x）＝·2x（36－2x）≤212x362x236()

2281212当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2

解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36,

x+y=18,矩形菜园的面积为xy

m2。由

xyxy189，可得

xy81

22当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2

归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，M2b∈R，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时4＋成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，等号当且仅当a＝b时成立. 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

l240000720(x1600)

x2400007202x1600

x2400007202402976001600,即x40时,l有最小值2976000.

x当x因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值

的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案. 六、领悟练习：

公式应用

(1)若x0,x(1)

1的最小值为________,此时x_________.

x若a>0,b>0,且a+b=2,则ab的最大值为_______,此时a=_____,b=_____。

七、反思总结，整合新知：

设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平. 老师根据情况完善如下：

一个不等式：若a0,b0，则有ababab。

2ab，当且仅当a=b时，2两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。

三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”

八、布置作业：