2.基本不等式名师教学设计1

《基本不等式》教学设计（第一课时）

河北省任丘市莫州镇莫州中学 李二娟

一、教学任务分析

1、教材分析：本节课选自人教A版选修4-5《不等式选讲》1.2基本不等式第一课时，本节在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用，求最值又是高考的热点。本课内容是在复习已有不等式知识（不等式的性质、基本不等式）的基础上，继续学习不等式的知识。

2、学情分析：学生已经掌握了不等式的基本性质，也已经初步掌握了利用不等式的基本性质证明一些不等式。

二、教学设计

教学目标

知识与技能目标：

（1）掌握基本不等式abab,认识其运算结构； 2（2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；

（3）能够利用基本不等式求简单的最值

过程与方法目标：

1、通过数形结合法让学生从图形中探究出重要不等式和

基本不等式；

2、通过培养学生观察、归纳的思维，让学生学会自主探索，分析问题、解决问题的能力。

3、培养学生会用所学知识解决求最值的技巧。

情感态度与价值观：

1

通过层层探究让学生不断解决问题，最后得到结论，体验数学充满着探索和创造，从中体会数形结合思想的重要性。

重点、难点

重点：应用数形结合的思想理解不等式，并探索不等式ab的证明过程。

难点：基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最

值教学方法设计：数形结合法、探究式法。

教学准备：多媒体课件、幻灯、投影。

┃教学过程设计┃ 教学过程

(一)、创设情境，导入新课

通过让学生动手做拼图游戏

从而引出图1.1-1

通过让学生动手拼图，提出问题：在拼设计意图

ab2 图1.1-1 图的过程中你能找出此图是在北京召开的第24届国际

数学家大会的会标，这是根据中国古代

数学家赵爽弦图而设计的。

一些相等或不等关系吗？从而导入新课

2

（二）探究1：探究图形中的不等关系

将图1.1-1中的“风车”抽象成如图1.1-2，

图1.1-2

通过让学生观察图形，思考回答问题得出结论：当在正方形ABCD中有四个全等的直角三角aR,bR时，a2b20形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形ABCD的边长为a2b2。这样，4个直

角三角形的面积的和是2ab，正方形ABCD的面让学生经历由几积为a2b2

。由于4个直角三角形的面积和小何图形抽象出不等式于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：的过程，亲身体会到ab2ab。

22当且仅当ab时取“”号

利用数形结合法解决当直角三角形变为等腰直角三角形，即数学问题更直观形象

a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有

ab2ab。从而得到定理1。

22

3

思考证明定理1 证明：因为 a2b22ab(ab)2

当ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20,

所以，(ab)20，即(a2b2)2ab.

利用作差比较法证明不等式

把直角三角形的直角边改为a,b，仍然可以用赵爽弦图推导出定理2

当且仅当ab时，等号成立。

探究2：定理2（基本不等式）

特别的，如果a>0,b>0,我们用a,b分别代替a、b ，可得ab2ab，通常我们把上式写作：abab(a>0,b>0)2

探究3：你能用尺规作图的方法找到基本不等式abab的几何意义吗？

2

如图所示：AB是圆的直径，点D是AB上一点，

通过让学生观察图形引导学生发现基本不等式ab

ab2的几何解释，紧接着BD=a,AD=b。过点D作垂直于AB的弦CE，连接给出它的代数意义

4

AC、BC。

你能利用这个图形得出基本不等式abab的几何解释吗？

2

引导学生发现：ab表示圆的半经，ab表2

示半弦长CD,得到不等关系：

ab≤ab(a0,b0) 2

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，

那么CD ＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab.

这个圆的半径为即ab，显然，它大于或等于CD，2

2abab，其中当且仅当点C与圆心重合，

2

即a＝b时，等号成立.

几何意义：半弦长不大于半径长。

或者说，直角三角形斜边上的中线不小于

斜边上的高。

我们称ab为正数a,b的几何平均数，称ab为正数a,b的算术平均数。

2

代数意义：几何平均数小于等于算术平均数

探究4：你能从定理1、2出发，继续得到

其它的不等关系吗？

5

(ab)22a,bR,ab2

a＞0，b＞0，ab2ab

2

不等式的证明留给学生课下证明

abab2或ab或ab()

22ba2,ab＞0

ab2

aba2b2ab(a＞0，b＞0)1

122ab（三）例题讲解

例3 求证：(1)在所有周长相同的矩形

中，正方形的面积最大;

(2)在所有面积相同的矩形中，正方形的周

长最短。

证明：设矩形的长为x,宽为y. (1)设矩形周长为定值l,即

通过例题讲解得2x2yl为定值。根据基本不等式

xylxy可得xy24

l2xy16于是，矩形的面积 出结论：和定积最大，积定和最小。

，

当且仅当x=y时，等号成立，即当且仅当矩形是正方形时，面积xy

（2）设矩形面积为定值S，即xyS为定l2取得最大值16.

6

值。根据基本不等式xyxy，

2

通过练一练讲解三矩形的周长2(xy)4xy4S，

当且仅当xy时，等号成立，即当且仅当矩形是正方形时，周长2(xy)取最小值4S。

结论：利用基本不等式求最值已知x,y都是正实数，则（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当xy时，xy有最小值2p,简记：积定和最小。（2）如果和xy是定值S,那么当且仅当xy时，S2xy有最大值,简记：和定积最大。4（四）练一练

①若正数x,y满足x+4y=4,求xy的最大值为 种类型：配凑法求最1x②若x＞1,求 的最小值 x1值；常值代换法求最③设x＞0,y＞0且x+2y=1, 值；利用基本不等式11

求的最小值 xy求最值问题，让学生④设x,y是正实数，且x+y=5,求lgx+lgy的最学会灵活应用基本不大值

等式及其变形求最值⑤若实数a,b,满足a+b=2,求 3a3b的最和函数值域，在运用小值

基本不等式时，要特⑥设2﹤x﹤5,求函数f(x)= “拆”“拼”“凑”3x(8x)的别注意最大值

等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”

7

x2x1的值域

⑦

求函数f(x)2x1总结反思：在求解含有两个变量的代数式“等”的条件。有些题目不易发现是基本不等式的变形，解题的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常时要会变形，回到基数1”的替换，构造不等式求解。

本不等式上。

（五）课堂小结，提炼观点

让学生分组讨论总结本节课的主要收获.

本节课，我们学习了重要不等式分组讨论，畅谈a2b22ab；两正数a、b的算术平均数（ab），2本节课的收获培养学几何平均数（ab）及它们的关系（abab）.生及时总结的习惯。

2

它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实

数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等

式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工

具。我们还可以用它们下面的等价变形来解决

ab2a2b2). 问题：ab,ab(22

使学生更能加深对知识点的巩固和提升

思想方法技巧：

（1）数形结合思想 （2）注意“拆”“拼”“凑”等技巧

（六）布置作业，巩固提升

教材10页“习题1.1”5、9、10

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（七）【板书设计】

§1.2基本不等式

二、两个平均数

三、常用不等式的变形

a2b22ab

例3 定理2（基本不等式）练一练

ab四、课后小结

ab

五、作业

2一、定理1（重要不等式）

4.

（八）教学反思

本节课通过拼图游戏引入新课，增强学生的学习兴趣，通过数形结合引导学生得出重要不等式和基本不等式，并加以证明。会利用基本不等式及其变形求一些最值问题，达到本节课的教学目标。本节课主要采用教师引导，学生主动探究知识方法，体现了学生为主体的新课标理念

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