三 排序不等式教学设计内容推荐

三

排序不等式

一、教学目标

1．了解排序不等式的数学思想和背景．

2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的问题．

二、教学重难点

1.教学重点：理解排序不等式的思想

2.教学难点：会用排序不等式解决简单的问题

三、教学方法

新授课

多媒体教学

四、教学过程

1.预习与引入

教材整理1

顺序和、乱序和、反序和的概念

阅读教材P41～P42“探究”以上部分，完成下列问题．

设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…＋anbn为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋ancn为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1称为反序和．

教材整理2

排序不等式

阅读教材P42～P44，完成下列问题．

设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b2＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．

[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

2.新课教学

已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：

111(1)bc≥ca≥ab；

a2b2c2111(2)b2c2＋c2a2＋a2b2≥a2＋b2＋c2. 【精彩点拨】

由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组．

11【自主解答】

(1)∵a≥b>0，于是a≤b.

111又c>0，∴c>0，从而bc≥ca，

11同理，∵b≥c>0，于是b≤c，

111∴a>0，∴a>0，于是得ca≥ab，

111从而bc≥ca≥ab.

111(2)由(1)知bc≥ca≥ab>0且a≥b≥c>0，

111∴b2c2≥c2a2≥a2b2，a2≥b2≥c2.

由排序不等式，顺序和≥乱序和得

a2b2c2b2c2a211111122＋22＋22≥22＋22＋22＝2＋2＋2＝2＋2＋2，

bccaabbccaabcababca2b2c2111故b2c2＋c2a2＋a2b2≥a2＋b2＋c2.

反思：

利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．

[再练一题]

a5b5c5c2a2b21．本例题中条件不变，求证：b3c3＋c3a3＋a3b3≥a3＋b3＋c3. 【证明】

∵a≥b≥c≥0，

∴a5≥b5≥c5，

111c≥b≥a＞0.

111∴bc≥ac≥ba，

111∴b3c3≥a3c3≥b3a3，由顺序和≥乱序和得

a5b5c5b5c5a5b3c3＋a3c3＋b3a3≥b3c3＋a3c3＋b3a3

b2c2a2＝c3＋a3＋b3，

a5b5c5c2a2b2∴b3c3＋a3c3＋b3a3≥a3＋b3＋c3. a2＋b2b2＋c2c2＋a2a3b3c3

设a，b，c为正数，求证：2c＋2a＋2b≤bc＋ca＋ab. 【精彩点拨】

(1)题目涉及到与排序有关的不等式；

(2)题目中没有给出a，b，c的大小顺序．解答本题时不妨先设定a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明．

【自主解答】

不妨设0

1110

由排序原理：乱序和≤顺序和，得

13131313131a3·＋b·＋c·≤a·＋b·＋c·caabbcbccaab，

111111a3·＋b3·＋c3·≤a3·＋b3·＋c3·.

abbccabccaab将上面两式相加得

a2＋b2b2＋c2c2＋a2a3b3c3＋＋c＋a＋b≤2bccaab，

将不等式两边除以2，

a2＋b2b2＋c2c2＋a2a3b3c3得2c＋2a＋2b≤bc＋ca＋ab.

反思2. 在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．

[再练一题] 2．设a1，a2，…，an为正数，求证：

22an－1ana21a2a2＋a3＋…＋an＋a1≥a1＋a2＋…＋an. 2【证明】

不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，则

11122a21≤a2≤…≤an，≥≥…≥.

aaa12n由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以

22an－1ana21a2212121＋＋…＋＋≥a·＋a·＋…＋a1n·，即

a2a3ana1a12a2an22an－1ana21a2a2＋a3＋…＋an＋a1≥a1＋a2＋…＋an. 22利用排序不等式求最值

aA＋bB＋cC

设A，B，C表示△ABC的三个内角，a，b，c表示其对边，求a＋b＋c的最小值(A，B，C用弧度制表示)．

【精彩点拨】

不妨设a≥b≥c＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解．

【自主解答】

不妨设a≥b≥c，

则A≥B≥C.

由排序不等式，得

aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，

aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，

aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC，

将以上三式相加，得

3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，

π当且仅当A＝B＝C＝3时，等号成立．

∴即aA＋bB＋cCπ≥3，

a＋b＋caA＋bB＋cCπ的最小值为3. a＋b＋c

1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．

2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．

[构建·体系] —反序和、乱序和、顺序和排序不等式——排序原理—排序原理的应用我还有这些不足：

(1)

(2)

我的课下提升方案：

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(2)