三 排序不等式第二课时教学设计

第三讲

柯西不等式与排序不等式

3.3

排序不等式

A级

基础巩固

一、选择题

1．设a≥b＞0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q的大小关系是(

) A．P＞Q

C．P＜Q

B．P≥Q

D．P≤Q

解析：因为a≥b＞0，所以a2≥b2＞0.

因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)，

则P≥Q.

答案：B

2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为(

) A．420 元

C．450 元

B．400 元

D．570 元

解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．

答案：A

2223．若A＝x1＋x2＋…＋xn，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为(

)

A．A＞B

C．A≥B

B．A＜B

D．A≤B

解析：依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x122＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x21＋x2＋…＋xn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.

答案：C

4．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则a2a3＋＋的最小值为(

) a2′a3′A．3

C．9

B．6 D．12 a1a1′111解析：设a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0，

a3a2a1由乱序和不小于反序和，知

a1a2a3a1a2a3＋＋≥＋＋＝3，

a1′a2′a3′a1a2a3a1a2a3所以＋＋的最小值为3.

a1′a2′a3′答案：A

5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是(

) A．大于零

C．小于零

B．大于等于零

D．小于等于零

解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，

根据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.

又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，

所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.

所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，

即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 答案：B 二、填空题

6．设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋an

bn不小于________．

答案：a1an＋a2an－1＋…＋ana1

7．设a，b，c为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是________．

解析：不妨设a≥b≥c＞0，则a2≥b2≥c2＞0，由排序不等式得：a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a.

所以P≥Q.

答案：P≥Q

bccaab8．设a，b，c＞0，则＋＋________a＋b＋c. abc解析：不妨设a≥b≥c＞0，

111则≤≤，bc≤ac≤ab.

abc由顺序和≥乱序和，得

11abacbc1＋＋≥·bc＋·ac＋·ab＝c＋a＋b，

cbabca当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

答案：≥

三、解答题

a1a2a2a3a3a19．设a1，a2，a3为正数，且a1＋a2＋a3＝1，求＋＋的a3a1a2最小值．

111解：不妨设a3＞a1＞a2＞0，则＜＜，

a3a1a2所以a1a2＜a2a3＜a3a1.

a1a3a1a2a3a2设乱序和S＝＋＋＝a1＋a2＋a3＝1，

a3a1a2a1a2a2a3a3a1顺序和S′＝＋＋.

a3a1a2a1a2a2a3a3a1由排序不等式得＋＋≥a1＋a2＋a3＝1，

a3a1a2所以a1a2a2a3a3a1＋＋的最小值为1. a3a1a210．设a，b，c大于0，求证：

(1)a3＋b3≥ab(a＋b)；

1111(2)33＋＋≤. a＋b＋abcb3＋c3＋abcc3＋a3＋abcabc证明：(1)不妨设a≥b＞0，

则a2≥b2＞0.

所以a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2·a，

所以a3＋b3≥ab(a＋b)．

(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)．

1111所以33＋33＋3≤a＋b＋abcb＋c＋abcc＋a3＋abcab（a＋b）＋abc＋111111＋＋＝＋＝bc（b＋c）＋abcac（a＋c）＋abca＋b＋cabbccac＋a＋b11·＝.

abcabca＋b＋c故原不等式得证．

B级

能力提升

1．已知实数a≥b≥c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则ab＋bc＋ca的最大值是(

) A．1

C．3

B．2 D.3 解析：因为a≥b≥c≥0，知a≥b≥c，

由排序不等式，得

ab＋bc＋ca≤aa＋bb＋cc.

又(aa＋bb＋cc)2≤[(aa)2＋(bb)2＋(cc)2]·(1＋1＋1)＝3(a3＋b3＋c3)＝9，

所以aa＋bb＋cc≤3.

故ab＋bc＋ca≤3.

答案：C

b2a22．若a＞0，b＞0且a＋b＝1，则＋的最小值是________．

ab解析：不妨设a≥b＞0，

11则有a≥b，且≥.

ba22b2a2112由排序不等式＋≥·a＋·b2＝a＋b＝1，

abab1当且仅当a＝b＝时，等号成立．

2b2a2所以＋的最小值为1. ab答案：1 113．设a1，a2，…，an是n个互不相同的正整数．求证1＋＋＋…23

1a2a3an＋≤a1＋2＋2＋…＋2. n23n证明：设b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的一个排列，且满足b1＜b2＜…＜bn，

因为b1，b2，…，bn是互不相同的正整数，

所以b1≥1，b2≥2，…，bn≥n，

111又因为1＞2＞2＞…＞2，

23na2a3b2b3anbn所以由排序不等式，得a1＋2＋2＋…＋2≥b1＋2＋2＋…＋223n23n111111≥1×1＋2×2＋3×2＋…＋n·2＝1＋＋＋…＋，

n23n23所以原不等式得证．