阅读与思考 九连环教案1

数列求和的常见方法和技巧（二）

目标：1、掌握裂项相消法，能用裂项相消法去求数列的前n项和

2、掌握简单的放缩法，能用放缩法求和解决数列不等式的证明问题

3、通过对数列求和方法的复习，提高学生快速、准确地选定求和的方法的能力

4、通过对数列求和方法的复习和学习，培养并提高学生观察、分析问题的能力

重点：1、裂项相消法 2、放缩法

难点：1、求和方法的选择 2、裂项相消的应用 3、放缩法的选择及放缩刻度的把握

过程：

一、复习回顾----数列求和的常见方法和技巧（一）

前一节课我们一起复习了部分常见的简单数列求和方法，现在再次回顾一下：

1、公式法---以等差、等比数列为主

n(a1an)n(n1)na1d 22(q1)na1（2）等比数列求和公式：Sna1(1qn)a1anq(q1)1q

1qn1（3）平方和公式：Snk2n(n1)(2n1)6k1

n132（4）立方和公式：Snk[n(n1)]

2k1（1）等差数列求和公式：Sn*例如：

已知数列an满足an=n(n1)(n2)

nN.求数列an的前n项和.2、分组法---形如通项为cnanbn的数列，其中an和bn能分别求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. *例如：

已知数列an满足an2n2n

nN.求数列an的前n项和.3、倒序相加法--- 一般用于首位存在某种关系的数列

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法

an2nN*.求数列an的前99项和.

例如：

已知数列an满足 2n+100n4、错位相减法---形如通项为cnanbn或cnn2an的数列（其中an为等差，bn为等比）

bn这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法

例如：（2010年课标卷17题）设数列an满足a12,an1an322n1

（1）求数列an的通项公式；（2）令bnnan，求数列的前n项和Sn

二、数列求和的常见方法和技巧（二）

5、裂项相消法-----主要适用形如通项为ankg(n)或an的数列（其中f(n)能化为含n的二项代数式）

f(n)f(n)常见的通项裂项：f(n)为含n的多项式，如f(n)1111

nnkknnk11knknf(n)为含n的根式代数式，如f(n)nkn

23n111

f(n)为含n的指数代数式，如f(n)nn1nn131313131（1）裂项相减

例题1：（3月月考理18题）已知数列an的前n项和为Sn，且满足an（1）求数列an的通项公式.（2）若

bnlog2an，cn1Sn1nN*. 21，且数列cn的前n项和为Tn，求Tn的取值范围.

bnbn1111n(n1)nn1

解：

（1）an1n2n；（2）bnlog22ncnbnbn1111111111Tn1...1nN,0,,Tn,1223nn1n1 n122. 练习1：(15课标1卷17题) Sn为数列an的前n项和.已知an0，an2+2an4Sn3(Ⅰ)求an的通项公式：(Ⅱ)设bn解：（1）an2n1；（2）bn

1

，求数列bn的前n项和Tn. anan111111

()anan1(2n1)(2n3)22n12n3Tn1111111111n(...)()Tn=

.235572n12n3232n3 6n9*例题2．（东北育才2018三模理17）已知数列an的前n项和为Sn,且a1=2,an12SnnN. （1）求数列an的通项公式；（2）记数列bnan,求数列bn的前n项和Tn. a1a1n1n2n11解：（1）an2

（2）bn nn1nn112121212n1111Tn22321212121

1111

nn1

=n13212121

练习2．（人大附中2018届二模17题）已知数列

中，

，其前

项和为

，满足

．

（1）求

的通项公式；（2）记

，求数列

的前

项和

，并证明

．

解：（1）

．

（2）证明：因为

所以

，

所以

，··

，

因为

，所以

．

（2）裂项相加

例题3．（2018届天津市联考文17题）已知数列an的前n项和为Sn,满足Sn2an1 (nN*), （1）求数列an的通项公式;（2）若cn1n14n132log2an32log2an1,求数列cn的前n项和Tn; 解：（1）an2n1； (2) cn(1)n14n111n1

1

2n12n32n12n3Tnc1c21111cn=3557+1n111

2n12n3当n为偶数时，Tn111135571111当n为奇数时，Tn3557111111，n为偶数2n12n332n3

32n3Tn11111+1，n为奇数+++2n12n332n3 32n3

练习3.(2014年山东理17题）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列。

（I）求数列{an}的通项公式；（II）令bn=(1)n14n,求数列{bn}的前2n项和T2n。

anan1解：（I）an2n1n1（II）bn(1)n1(1)()

；anan12n12n14n1111111T2n(1)()()33557(1114n)Tn14n14n14n14n1

6、简单的放缩法------通项为分式的正项（或负项）数列，主要适用于数列不等式的证明

放缩的目的：能求和

放缩的方法

（1）放大：

①分子放大，分母不变 ②分母缩小，分子不变

③分子、分母都放大，分子放更大 ④分子、分母都缩小，分母缩更小

（2）缩小：

①分子缩小，分母不变 ②分母放大，分子不变

③分子、分母都缩小，分子缩更小 ④分子、分母都放大，分母放更大

例4.（2017届贵贵阳一中月考17题）已知数列an的前n项和Sn满足：

2Sn1an. （1）数列an的通项公式；（2）设bn1anan1，且数列bn的前n项和为Tn，求证：

Tn. 31an1an1

11nn1anan1111*33解：（1）an，． nn1nN （2）证明：

bn111an1an1131n13131n3311111111n,n1n1， 所以bnnn1nn1， 由n313313313133n所以Tnb1b2因为1111bn22333331111nn1n1． 3333111110T，所以，即．

n3n133n133例题5.（14课标2卷17题）

已知数列an满足a1=1，an13an1. （1）证明an1是等比数列，并求an的通项公式；（2）证明：11…+13. 2a1a2an2

1n1231a31，nN*（2）证明： =nnn1解：（1） n2an3133

n11111131

...01...n11aa2an3332

13

1113...所以

a1a2an2练习4．（济宁市2010届二模理17题）各项均不为零的数列{an}，首项a11，且对于任意nN均有*621

anan1bn

11.(1)求证数列{bn}为等比数列，并求{an}的通项公式；(2)数列{an}的前n项和为Tn，求证：Tn2。

an44

3n143n114114(2n3331

解：（1）an（2）Tn442313111(1n)1132(11)2. n1n)

431333n13