小结优秀教学设计

3.4

基本不等式：【教学设计分析】

abab

2通过本节课的学习，让学生体会基本不等式的重要性，领悟不等式证明的基本思路、方法。这为下面基本不等式的实际应用打下了坚实的基础，所以说，本节课研究内容在本大节中是起承上启下作用。在本节课的研究中，首先通过学生的自学研究，让学生应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考；体会感受基本不等式的知识产生发展过程。通过典型例题研究培养学生的数学逻辑思维能力及逻辑关系的分析能力得到锻炼与培养，提高归纳学生解决不等式问题解决方法的思路策略。

利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式abab.以数学知识2为载体，对学生的逻辑思维能力，各种思想方法的掌握，进而提高学生的数学素质与数学素养，这是高中数学教学的一项主要任务。

教学重点

1、学会推导并掌握基本不等式的证明过程；

2、利用基本不等式证明一些简单不等式、求最值；巩固强化基本不等式abab；

2教学难点

正确理解基本不等式运用的三个条件：一正二定三相等，培养学生思维的严谨性、规范书写习惯。

教学方法

自主学习、启发式教学、合作交流

【三维目标设计】

一、知识与技能

1、学会推导并掌握基本不等式的证明过程；

2、利用基本不等式证明一些简单不等式、求最值；巩固强化基本不等式abab；

2二、过程与方法

1.采用自主学习、合作探究法的教学方法，运用联想、类比、思考、交流、逻辑分析的方法进行教学；

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.

三、情感态度与价值观

1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思考，通过设置思考项，让学生探究，层层铺设，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；

2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；

3.通过对富有挑战性问题（例题3凑配、构造定值）的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，从而激发学生的学习兴趣.

1

【教学过程设计】

一、学生自主学习：教材97至98页完成以下任务

二、导入新课

探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）

三、推进新课

师

同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？

生

应该先从此图案中抽象出几何图形.

师

此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？

（请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评）

（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）

［过程引导］

师

设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？

生

显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和.

师

一定吗？

师

同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？

生

每个直角三角形的面积为1ab，四个直角三角形的面积之和为2ab.正方形的边长为2a2b2，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab.

师

这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b2≥2ab证明了吗？

生

没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已.

师

回答得很好.

2

师

这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明.

（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）

师

请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab.

生

采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab.

师

同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？

［教师精讲］

师

这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样.

生

实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明.

（此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）

［合作探究］

师

请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.

生

当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.

（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨）

师

从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明.

生

当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号.

师

这位同学回答得很好.请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致.

（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）

板书：

一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. ［过程引导］

师

这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.

（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）

师

当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a,b分别代替此不等式中的a,b。

生

完全可以.

师

为什么？

生

因为不等式中的a、b∈R.

师

很好，我们来看一下代替后的结果. 板书：

ababab即ab

(a＞0,b＞0). 22师

这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把ab叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）

师

请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？

3

（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式）

要证：abab，2

只要证a+b≥2ab，要证②，只要证：a+b-2ab≥0，要证③，只要证：(ab)20,

显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.

（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）

［合作探究］

老师用投影仪给出下列问题.

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？

（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）

［合作探究］

师

同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？

生

可证△ACD ∽△BCD,所以可得CD生

由射影定理也可得CDab.

ab.

ab分别又有什么几何意义呢？

2师

这两位同学回答得都很好，那ab与生ab表示半弦长，ab表示半径长.

2师

半径和半弦又有什么关系呢？

生

由半径大于半弦可得abab.

2ab

2师

这位同学回答得是否很严密？

生

当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式ab(a＞0,b＞0).

四、典型例题学习，方法提升

（一）教师讲评例题1 （1）用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆

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最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

(教学过程：一严谨审题，二设好未知数，三翻译条件确定目标函数，四对比基本不等式“和定或积定”，五自主解答) 解：（1）设矩形菜园的长、宽分别为x

m、y

m，则xy=100，篱笆的长为2(x+y) m.由xyxy，可得x+y≥2100，等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此这个矩形2的长、宽各都为１０

m时，所用篱笆最短，最短的篱笆是４０

m.

（2）设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m.则2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.由xyxy189，可得xy≤81.等号当且仅当x=y=10时成立.因此这个矩形菜园的22长、宽各都为９m时，菜园的面积最大，最大面积是８１m2.

解题小结：1、两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。

2、两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。

（二）教师讲评例题2 例题2、(1)已知x、y都是正数，求证：xy2; yx( 2）求函数f(x)x4

的取值范围. x启发问题：第（1）小题：基本不等式中a、b的取值? 第（2）小题为什么没有给出条件x0?

解题小结：1、基本不等式中a、b可以代替任意的式子；

2、基本不等式使用的三个条件：一正二定三相等；

3、书写的规范性。

（三）合作交流学习例题3，教师启发点评，开拓思维

例题3、(1)已知x1,求f(x)x（2）已知0x2的最小值；

x11，求函数yx(13x)的最大值。

3分析：如何确定a、b，构造和或者积式为常数。

五、课堂小结：

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1. 两个不等式

（1）a,bR,那么a2b22ab,(当且仅当ab时取""号)

（2）abab(a>0,b>0)（当且仅当a=b时，等号成立）

2注意：1）.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。

2）.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。

2.不等式的简单应用：主要在于求最值

把握

“七字方针” 即

“一正，二定，三相等”

【板书设计】

基本不等式abab的证明

2一、实际情景引入得到重要不等式

三、例题1

例题2

例题3

a2＋b2≥2ab

二、定理

若a＞0，b＞0，课后作业

则abab2

四、课时小结

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