1.3 二项式定理（通用）教学设计第一课时

三元整合教学模式数学学科导学稿（学生版）

一.课题：

1.3二项式定理（数学选修2-3，P29～36）属于数学规则课型

二.学习目标：

1、通过归纳法与排列组合知识分析学习ab的展开形式，并理解项的系数和二项式系n编号:高二下理-10 编写人：黄汉强

审稿人：高二备课组

编写时间：2018-4-11 数的区别；并会简单的应用；

2、能够根据二项式定理进行简单规则应用；

3、理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。

目标说明：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式是重点；展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别；二项式系数的性质及其应用是难点。

三、教学过程：

1.3.1 二项式定理

（一）、问题一：你能写出下面公式吗？

ab2

___________；

ab

；

ab=

34以上公式有什么特征（包括项数、指数、系数），你能否推广到一般形式？

思考：ab的展开形式是什么？

n(二)、阅读课本P29-31完成下列填空：

第一步：ab可以看成有n个括号，从每一个括号里任取a或b那么，ab的展nn开后，经过合并同类项，应该有_____项，每一项的形式是（先不考虑系数）_____ ．．．．．．第二步：那么每一项的系数是多少呢？

每个都不取b的情况有____种（用组合数表示），所以a的系数是_______ 恰取1个b的情况有____种（用组合数表示），所以a恰取2个b的情况有____种（用组合数表示），所以a……

恰取r个b的情况有____种（用组合数表示），所以a……

都取b的情况有____种（用组合数表示），所以b的系数是________ 第三步：归纳总结

1 nnrn11nb的系数是_______ b2的系数是______ n2br的系数是______

abn=_____________________________________________________________ 上述公式叫________________。ab的二项展开式共有_______项，其中各项的系数n______________叫做二项式系数，式中的________________叫做二项展开式的_____________，用_____________表示。即Tk1=___________________。

注意：定理中的a、b仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子，只要是两项相加的n次幂，都能运用二项式定理展开。

试试：(2x)6 ________________________ ， ⑴

展开式共有_____ 项，

⑵

展开式的通项公式是 ____________ ，

⑶展开式中第4项的二项式系数是 ______，第四项系数是_______ . 思考：(1x)n______________________________________ （三）、典型例题

题型一：求二项展开式

例1：展开下列各式：

（1）ab6

4（2）x1x

（3）1x5

7（4）x1x

二项式展开式的“逆用”

例2．计算13C1227C3nnn9Cnn....(1)3cnn

2

题型二：求二项展开式的特定项

例3：求12x的展开式第4项的二项式系数和系数

7

变式：（1）x2的二项展开式中含x3项的系数是__________________ 6小结：二项式系数和系数的区别：

1例3：求x的二项展开式的常数项。

2x变式：（1）已知(x+a)7的展开式中，x4项的系数是-280，则a=

(2)：求(x

①

当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；

②

当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。

6110)的展开式的中间项为

；展开式中有理项共有

项；

3x1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质

1、预习教材32页-35页，找出疑惑之处。

（a+b）（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数，并写成如下形式：

2、算一算：n 

ab1

ab2

ab3

ab4

ab5

ab6

abn

3

二项式系数的性质：

1、对称性：二项展开式中，与首末两端__________的两项的二项式系数______。

2、增减性与最大值：

r 设函数frCn，函数的定义域是

3、参考课本P33图1.3-2，函数图象有何特点？完成以下填空。（由特殊到一般）

r

从图象得知，函数frCn的图像的对称轴为直线

，它的左边二项式系数逐渐

，右边二项式系数逐渐

. 当n是偶数时，中间项共有

项，是第

项，它的二项式系数是

，取得最大值；

当n是奇数时，中间项共有

项，分别是第

项和第

项，它的二项式系数分别是

和

，且同时取得最大值。

4、各二项式系数的和：（赋值法）

0n1n1rnrrnn

在(ab)nCnaCnabCnabCnb展开式中，

012n(1)CCCC

nnnn思考：024135

(2)CnCnCn

(3)CnCnCn

巩固练习：

x33-x的中间项为

. 1. (选修2-3P37T4改编)二项式【答案】924 612x-36C123x【解析】T7==924.

611-2. (选修2-3P37T5改编)2x中x-5的系数为

. 63【答案】-8

51163C10-52=-8. 【解析】含x的项是第6项，它的系数是510

3. (选修2-3P31练习B改编)设(3x-1)8=a8x8+a7x7+…+a1x+a0，则a8+a6+a4+a2+a0=

. 【答案】32 896 【解析】令x=1，得28=a8+a7+a6+…+a1+a0；令x=-1，得48=a8-a7+a6-…-a1+a0，所以

4

2848a8+a6+a4+a2+a0=2=32 896. 44. (选修2-3P32T3改编)在(2+3)50的展开式中，有理项的个数为

. 【答案】13【解析】展开式的通项公式为Tr+1=C2r5050-r250-rr，3，·展开式中有理项应使得24r4均为整数，因为0≤r≤50，所以r=0，4，…，48，共13个.

n-1CnCn-1Cn-25. (选修2-3P37B组T2改编)2n-·2+·2+…+(-1)n-1·2+(-1)n=

. 1n2n【答案】1【解析】由(2-1)=2n-

6. . (2016全国14)(2x

nC0n·2-nC1n·2+n-1C2n·2+…+(-1)n-2n-1-1Cnn·2+(-1)nCnn，得C1n·2n-1+C2n·2n-2+…+(-1)n-1-1Cnn·2+(-1)n=1. x)5的展开式中，x3的系数是.（用数字填写答案）

7.（15北京理科）在2x的展开式中，x3的系数为 【答案】40 【解析】试题分析：利用通项公式，Tr1的系数为C5240考点：二项式定理

325．（用数字作答）

C5r25rxr，令r3，得出x38.（15年广东理科）在(x1)4的展开式中，x的系数为

【答案】6．

【解析】由题可知Tr1Cr4x24r1rC1xr4r4r2，令4r1解得r2，22所以展开式中x的系数为C416，故应填入6．

9.（15年福建理科）x2

的展开式中，x的系数等于

．（用数字作答）

25

5

【答案】80

232【解析】试题分析：x2

的展开式中x项为C5

2x80，所以x的系数等于80．22510.（15年陕西理科）二项式(x1)n(nN)的展开式中x的系数为15，则n（

）

A．4

B．5

C．6

D．7 【答案】C 2

12x11.（15年天津理科）在x

的展开式中，的系数为

. 4x【答案】615

16

考点：二项式定理及二项展开式的通项. 12. (2015·全国新课标卷)(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为(

) A. 10

B. 20

C. 30

D. 60 【分析】(1) (x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5，首项确定y2在展开式中的位置，再确定x5在展开11(1x)1x2015x2015x，根据展=式中的位置，利用通项公式计算即可；(2) 开式的特点确定含x2的项在展开式中的位置，然后利用通项公式求系数. 【答案】(1) C

(2) 45 【解析】(1) (x+x+y)=[(x+x)+y]，展开式中含y的项为(x+1)的展开式中x的系数为

32252522C51010(x2+x)3y2，因为(x2+x)3=x3(x+1)3，C132125C5C352(xxy)，所以的展开式中，xy的系数为=30. 6